向量法求点在直线上的投影

已知直线上两点a、b和直线外一点p，求p在直线ab上的投影点。
根据《计算几何之 点在直线上的投影 代码模板与证明》一文中所述，p的投影点p’就是a+ $\vec{x}$ （直线的点向式），所以我们只要求出 $\vec{x}$ 就能求出p’了。

而 $\vec{x}$ = t $\vec{v}$ ，这个t就是 ∣ $\vec{x}$ ∣ 和 ∣$\vec{v}$ ∣ 的比值。假设两个向量的夹角为$\theta$,则有：
$$t=\frac{|\vec{x}|}{|\vec{v}|}=\frac{|\vec{u}|\ast cos\theta }{|\vec{v}|}$$
根据向量的知识我们可以知道向量的夹角计算方式为：
$$cos\theta =\frac{\vec{u}\ast \vec{v}}{|\vec{u}|\ast |\vec{v}|}$$
因此，t的解算可以优化为：
$$t=\frac{|\vec{u}|\ast cos\theta }{|\vec{v}|}=\frac{|\vec{u}|}{|\vec{v}|}\ast \frac{\vec{u}\ast \vec{v}}{|\vec{u}|\ast |\vec{v}|}=\frac{\vec{u}\ast \vec{v}}{|\vec{v}{|}^2}$$
于是乎，我们就可以得到向量$\vec{x}$:
$$\vec{x}=t\ast \vec{v}=\frac{\vec{u}\ast \vec{v}\ast \vec{v}}{|\vec{v}{|}^2}$$
由此，我们就可以计算出所需要的向量$\vec{x}$，但是某些时候我们只知道向量的一个端点以及它的夹角，是否有更为方便的方式使用上述的式子呢？对于上述式子，我们还可以将其进一步简化。对于向量$\vec{v}$而言，其可以简写成：
$$\vec{v}=|\vec{v}|\ast \vec{e}$$
其中，$\vec{e}$为$\vec{v}$的单位向量。
因此，向量$\vec{x}$也可以写成：
$$\vec{x}=t\ast \vec{v}=\vec{u}\ast \vec{e}\ast \vec{e}$$
注意这里的运算方式，前面的$\vec{u}\ast \vec{e}$代表的是向量的点乘，因此得到的是一个具体的数，数再乘以向量最后得到一个新的向量。因此，通过这种方式我们也可以使用这种方式来计算它的投影向量。

因此，对于最开始的问题，关于点p在向量上的投影点，其计算方式可以写为：
$$p^{\prime }=p+\vec{x}=p+\vec{u}\ast \vec{e}\ast \vec{e}$$
简单的代码实现：

    Vec2f vec;//向量
    Vec2f P;//向量外的点
    Vec2f P_pro;//投影点
    theta = 1.2;//向量的夹角
    vec[0] = 4.3;//向量上的一个点
    vec[1] = 2.2;
    P[0] = 1;
    P[1] = 0;
    Vec2f e;//单位向量
    e[0] = cos(theta);
    e[1] = sin(theta);
    Vec2f u;
    u = P-vec;//向量U，终点减起点
    P_pro = vec+(u.dot(e))*e;

得到的结果如下：

图中箭头代表的是向量，左侧的紫色球体代表平面上的一点，右下方的紫色球体代表该点在向量上的投影位置。
例如我们修改向量的方向及位置：

    theta = 0.2;//向量的夹角
    vec[0] = 1.3;//向量上的一个点
    vec[1] = 0.2;

则会得到新的位置关系：

从上述的结果来看原式子的结论应该是没有问题的。

补充知识点：如何判断点在向量的左侧还是右侧？
根据夹角的计算方式：
$$cos\theta =\frac{\vec{u}\ast \vec{v}}{|\vec{u}|\ast |\vec{v}|}$$
由于分母为模长，必定为正数，所以角度的正负由分子决定，因此，根据向量的点乘结果即可以判断点在向量的左侧还是右侧。
参考：
计算几何之 点在直线上的投影 代码模板与证明
向量点乘（内积）和叉乘（外积、向量积）概念及几何意义解读
Numpy计算给定线段上点的投影位置（x，y）
点在直线的投影坐标 n维向量投影坐标 几何投影坐标