一. 概率论的基本概念
1.掷一枚硬币5次,出现正面向上次数多于反面向上次数的概率为()
A. 15 16 \frac { 1 5 } { 1 6 } 1615 | B. 11 32 \frac { 1 1 } { 3 2 } 3211 | C. 1 2 \frac { 1 } { 2 } 21 | D. 3 8 \frac { 3 } { 8 } 83 |
答案C
解法一
设掷一枚硬币5次中正面向上出现k次的概率为 P 5 ( k ) , k = 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 P _ { 5 } ( k ) , k = 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 P5(k),k=0,1,2,3,4,5
根据伯努利试验 P 5 ( k ) = C 5 k ( 1 2 ) 5 P _ { 5 } ( k ) = C _ { 5 } ^ { k } ( \frac { 1 } { 2 } ) ^ { 5 } P5(k)=C5k(21)5 。5次中正面向上次数多于反面向上次数,也就是k = 3 , 4 , 5.故所有概率为 P 5 ( 3 ) + P 5 ( 4 ) + P 5 ( 5 ) = ( C 5 3 + C 5 4 + C 5 5 ) ( 1 2 ) 5 = 1 2 P _ { 5 } ( 3 ) + P _ { 5 } ( 4 ) + P _ { 5 } ( 5 ) = ( C _ { 5 } ^ { 3 } + C _ { 5 } ^ { 4 } + C _ { 5 } ^ { 5 } ) ( \frac { 1 } { 2 } ) ^ { 5 } = \frac { 1 } { 2 } P5(3)+P5(4)+P5(5)=(C53+C54+C55)(21)5=21 .
解法二
总共掷硬币5次,不是正面朝上次数多于反面朝上次数,就是反面朝上次数多于正面朝上次数,这两个事件概率相等,所以每个概率都是 1 2 \frac { 1 } { 2 } 21 .
2.一批零件共有100个,其中共有10个不合格品。从中一个一个取出,求第3次才取得不合格品的概率是多少?
解:以 A i A_i Ai记事件“第i次取出的是不合格品”,i = 1 , 2 , 3。则所求概率为 P ( A 1 A 2 ‾ A 3 ) P ( \overline { A _ { 1 } A _ { 2 } } A _ { 3 } ) P(A1A2A3),由乘法定理得
P ( A 1 A 2 ‾ A 3 ) = P ( A 1 ‾ ) P ( A 2 ‾ ∣ A 1 ‾ ) P ( A 3 ∣ A 1 ‾ A 2 ‾ ) P ( \overline { A _ { 1 } A _ { 2 } } A _ { 3 } ) = P ( \overline { A _ { 1 } } ) P ( \overline { A _ { 2 } } \vert \overline { A _ { 1 } } ) P ( A _ { 3 } \vert \overline { A _ { 1 } } \overline { A _ { 2 } } ) P(A1A2A3)=P(A1)P(A2∣A1)P(A3∣A1A2) = 90 100 × 89 99 × 10 98 = 0.0826 \frac { 9 0 } { 1 0 0 } \times \frac { 8 9 }{99} \times \frac { 10 }{98} =0.0826 10090×9989×9810=0.0826
3.保险公司认为某险种的投保人可以分成两类:一类为容易出事故者,另一类为安全者。统计表明:一个易出事故者在一年内发生事故的概率为0.4,而安全者这个概率则减少为0.1.若假定第一类人占此险种投保人的20%.现有一个新的投保人来投保此险种,问该投保人在购买保单一年内出事故的概率有多大?
解:设A为投保人在一年内出事故,B为投保人是第一类人,根据题意可得 P ( A ∣ B ) = 0.4 P ( A ∣ B ‾ ) = 0.1 P ( B ) = 0.2 , P ( B ‾ ) = 0.8 P ( A \vert B ) = 0 . 4P ( A \vert \overline { B } ) = 0 . 1P ( B ) = 0 . 2 ,P ( \overline { B } ) = 0 . 8 P(A∣B)=0.4P(A∣B)=0.1P(B)=0.2,P(B)=0.8.
由全概率公式得
P ( A ) = P ( A ∣ B ) P ( B ) + P ( A ∣ B ‾ ) P ( B ‾ ) = 0.4 × 0.2 + 0.1 × 0.8 = 0.16 P ( A ) = P ( A \vert B ) P ( B ) + P ( A \vert \overline { B } ) P ( \overline { B } ) = 0 . 4 \times 0 . 2 + 0 . 1 \times 0 . 8 = 0 . 1 6 P(A)=P(A∣B)P(B)+P(A∣B)P(B)=0.4×0.2+0.1×0.8=0.16
4.袋中有20只红球和30只白球,现有两人随机从袋中各取一球,取后不放回。则第二个人
取得红球的概率是多少?
解法一
一般理解第二个人取什么球与第一个人有关,要用到全概率公式。设 A i A _ { i } Ai表示第i个人取到红球,i = 1 , 2,则根据全概率公式:
P ( A 2 ) = P ( A 1 ) P ( A 2 ∣ A 1 ) + P ( A 1 ‾ ) P ( A 2 ∣ A 1 ‾ ) = 20 50 × 19 49 + 30 50 × 20 49 P ( A _ { 2 } ) = P ( A _ { 1 } ) P ( A _ { 2 } \vert A _ { 1 } ) + P ( \overline { A _ { 1 } } ) P ( A _ { 2 } \vert \overline { A _ { 1 } } ) = \frac { 2 0 } { 5 0 } \times \frac { 1 9 } { 4 9 } + \frac { 3 0 } { 5 0 } \times \frac { 2 0 } { 4 9} P(A2)=P(A1)P(A2∣A1)+P(A1)P(A2∣A1)=5020×4919+50
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