【基础算法练习】再学背包问题（01背包）

背包模板题

朴素版代码（二维）

#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;

const int N = 1010;

int n, m;
int v[N], w[N];
int dp[N][N];

int main()
{
    
    cin >> n >> m;
    for (int i = 1; i <= n; i ++ ) cin >> v[i] >> w[i];
    for (int i = 1; i <= n; i ++ ) 
        for (int j = 1; j <= m; j ++ ) {
    
            if (j < v[i]) dp[i][j] = dp[i - 1][j];
            else dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - v[i]] + w[i]);
        }
    cout << dp[n][m] << endl;
    return 0;
}

思路

（1）状态 dp[ i ][ j ] 定义：前 i 个物品，背包容量 j 下的最优解（最大价值）

（2）当前背包容量不够（ j < v[ i ]），没得选，因此前 i 个物品最优解即为前 i − 1 个物品最优解：对应代码：dp[ i ][ j ] = dp[ i - 1 ][ j ]

（3）当前背包容量够，可以选，因此需要决策选与不选第 i 个物品：

• 选：dp[ i ][ j ] = dp[ i - 1 ][ j - v[ i ] ] + w[ i ]
• 不选：dp[ i ][ j ] = dp[ i - 1 ][ j ]

我们的决策是如何取到最大价值，因此以上两种情况取 max()

（4）如何理解：dp[ i ][ j ] = dp[ i - 1 ][ j - v[ i ] ] + w[ i ] ？

• 先放入当前物品 i，再选择前 i - 1 个物品且总体积小于等于 j - v[ i ] 的最大价值的方案，即：dp[ i - 1 ][ j - v[ i ] ] + w[ i ]

状态压缩代码（一维）

#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;

const int N = 1010;

int n, m, v, w;
int dp[N];

int main()
{
    
    cin >> n >> m;
    for (int i = 1; i <= n; i ++ ) {
    
        cin >> v >> w;
        for (int j = m; j >= v; j -- ) 
            dp[j] = max(dp[j], dp[j - v] + w);
    }
    cout << dp[m] << endl;
    return 0;
}

思路

（1）状态 dp[ j ] 定义：N 件物品，背包容量 j 下的最优解

（2）为什么一维情况下枚举背包容量需要逆序？ 在二维情况下，状态 dp[ i ][ j ] 是由上一轮 i - 1 的状态得来的，dp[ i ][ j ] 与 dp[ i - 1 ][ j ] 是独立的。而优化到一维后，如果我们还是正序，则有可能本应该用第 i - 1 轮的状态却用的是第 i 轮的状态

（3）我们的代码循环到第 i 轮的时候，dp[ j ] 就是前 i 轮已经决策的物品且背包容量 j 下的最大价值。 因此当执行完循环结构后，由于已经决策了所有物品，dp[ j ] 是所有物品背包容量 j 下的最大价值，即一维 dp[ j ] 等价于二维 dp[ n ][ j ]