动态规划理论基础
什么是动态规划
动态规划，英文：Dynamic Programming，简称DP，如果某一问题有很多重叠子问题，使用动态规划是最有效的。
所以动态规划中每一个状态一定是由上一个状态推导出来的，这一点就区分于贪心，贪心没有状态推导，而是从局部直接选最优的。
动态规划的解题步骤
-
确定dp数组（dp table）以及下标的含义
-
确定递推公式（状态转移公式）
-
dp数组如何初始化
-
确定遍历顺序
-
举例推导dp数组
为什么要先确定递推公式，然后在考虑初始化呢？
因为一些情况是递推公式决定了dp数组要如何初始化。
如何debug
找问题的最好方式就是把dp数组打印出来，看看究竟是不是按照自己思路推导的。
做动规的题目，写代码之前一定要把状态转移在dp数组的上具体情况模拟一遍，心中有数，确定最后推出的是想要的结果。
然后再写代码，如果代码没通过就打印dp数组，看看是不是和自己预先推导的哪里不一样。
如果打印出来和自己预先模拟推导是一样的，那么就是自己的递归公式、初始化或者遍历顺序有问题了。
如果和自己预先模拟推导的不一样，那么就是代码实现细节有问题。
leetcode 509.斐波那契数
斐波那契数，通常用 F(n) 表示，形成的序列称为 斐波那契数列 。该数列由 0 和 1 开始，后面的每一项数字都是前面两项数字的和。也就是： F(0) = 0，F(1) = 1 F(n) = F(n - 1) + F(n - 2)，其中 n > 1 给你n ，请计算 F(n) 。
示例 1：
-
输入：2
-
输出：1
-
解释：F(2) = F(1) + F(0) = 1 + 0 = 1
示例 2：
-
输入：3
-
输出：2
-
解释：F(3) = F(2) + F(1) = 1 + 1 = 2
动规五部曲
这里我们要用一个一维dp数组来保存递归的结果
-
确定dp数组以及下标的含义
dp[i]的定义为：第i个数的斐波那契数值为dp[i]。
-
确定递推公式
状态转移方程：dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2]。
-
dp数组如何初始化
斐波那契数列初始化为：
dp[0] = 0;
dp[1] = 1;-
确定遍历顺序
从递归公式dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];中可以看出，dp[i]是依赖 dp[i - 1] 和 dp[i - 2]，那么遍历的顺序一定是从前到后遍历的
-
举例推导dp数组
按照这个递推公式dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2]，我们来推导一下，当N为10的时候，dp数组应该是如下的数列：
0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55
如果代码写出来，发现结果不对，就把dp数组打印出来看看和我们推导的数列是不是一致的。
整体代码如下：
class Solution {
public:
int fib(int n) {
if(n <= 1) return n;
vector<int> dp(n + 1);
dp[0] = 0;
dp[1] = 1;
for(int i = 2; i <= n; i++){
dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];
}
return dp[n];
}
};
或者不是维护整个序列而是只维护两个变量：
class Solution {
public:
int fib(int n) {
if(n <= 1) return n;
int dp[2];
dp[0] = 0;
dp[1] = 1;
for(int i = 2; i <= n; i++){
int result = dp[0] + dp[1];
dp[0] = dp[1];
dp[1] = result;
}
return dp[1];
}
};可减少空间复杂度。
leetcode 70.爬楼梯
假设你正在爬楼梯。需要 n 阶你才能到达楼顶。
每次你可以爬 1 或 2 个台阶。你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢？
注意：给定 n 是一个正整数。
示例 1：
-
输入： 2
-
输出： 2
-
解释： 有两种方法可以爬到楼顶。
-
1 阶 + 1 阶
-
2 阶
示例 2：
-
输入： 3
-
输出： 3
-
解释： 有三种方法可以爬到楼顶。
-
1 阶 + 1 阶 + 1 阶
-
1 阶 + 2 阶
-
2 阶 + 1 阶
爬到第一层楼梯有一种方法，爬到二层楼梯有两种方法。
那么第一层楼梯再跨两步就到第三层 ，第二层楼梯再跨一步就到第三层。
所以到第三层楼梯的状态可以由第二层楼梯 和 到第一层楼梯状态推导出来，那么就可以想到动态规划了。
动规五部曲
-
确定dp数组以及下标的含义
dp[i]： 爬到第i层楼梯，有dp[i]种方法
-
确定递推公式
从dp[i]的定义可以看出，dp[i] 可以有两个方向推出来。
首先是dp[i - 1]，上i-1层楼梯，有dp[i - 1]种方法，那么再一步跳一个台阶不就是dp[i]了么。
还有就是dp[i - 2]，上i-2层楼梯，有dp[i - 2]种方法，那么再一步跳两个台阶不就是dp[i]了么。
那么dp[i]就是 dp[i - 1]与dp[i - 2]之和！
所以dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2] 。
-
dp数组如何初始化
题目中说了n是一个正整数，没说n有为0的情况。所以本题不应该讨论dp[0]的初始化。
dp[1] = 1，dp[2] = 2。
-
确定遍历顺序
从递推公式dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];中可以看出，遍历顺序一定是从前向后遍历的。
-
举例推导dp数组
举例当n为5的时候，dp table（dp数组）应该是这样的：
从上图可以发现，这就是斐波那契数列，只是没有dp[0]的存在而已。
代码如下：
class Solution {
public:
int climbStairs(int n) {
if (n <= 1) return n; // 因为下面直接对dp[2]操作了，防止空指针
vector<int> dp(n + 1);
dp[1] = 1;
dp[2] = 2;
for (int i = 3; i <= n; i++) { // 注意i是从3开始的
dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];
}
return dp[n];
}
};
leetcode 746.使用最小花费爬楼梯
数组的每个下标作为一个阶梯，第 i 个阶梯对应着一个非负数的体力花费值 cost[i]（下标从 0 开始）。
每当你爬上一个阶梯你都要花费对应的体力值，一旦支付了相应的体力值，你就可以选择向上爬一个阶梯或者爬两个阶梯。
请你找出达到楼层顶部的最低花费。在开始时，你可以选择从下标为 0 或 1 的元素作为初始阶梯。
示例 1：
-
输入：cost = [10, 15, 20]
-
输出：15
-
解释：最低花费是从 cost[1] 开始，然后走两步即可到阶梯顶，一共花费 15 。
示例 2：
-
输入：cost = [1, 100, 1, 1, 1, 100, 1, 1, 100, 1]
-
输出：6
-
解释：最低花费方式是从 cost[0] 开始，逐个经过那些 1 ，跳过 cost[3] ，一共花费 6 。
动规五部曲
-
确定dp数组以及下标的含义
dp[i]的定义：到达第i台阶所花费的最少体力为dp[i]。
-
确定递推公式
可以有两个途径得到dp[i]，一个是dp[i-1] 一个是dp[i-2]。
dp[i - 1] 跳到 dp[i] 需要花费 dp[i - 1] + cost[i - 1]。
dp[i - 2] 跳到 dp[i] 需要花费 dp[i - 2] + cost[i - 2]。
那么究竟是选从dp[i - 1]跳还是从dp[i - 2]跳呢？
一定是选最小的，所以dp[i] = min(dp[i - 1] + cost[i - 1], dp[i - 2] + cost[i - 2]);
-
dp数组如何初始化
题目描述中明确说了 “你可以选择从下标为 0 或下标为 1 的台阶开始爬楼梯。” 也就是说 从 到达 第 0 个台阶是不花费的，但从 第0 个台阶 往上跳的话，需要花费 cost[0]。
所以初始化 dp[0] = 0，dp[1] = 0;
-
确定遍历顺序
dp[i]由dp[i-1]dp[i-2]推出，所以是从前到后遍历cost数组就可以了。
-
举例推导dp数组
拿示例2：cost = [1, 100, 1, 1, 1, 100, 1, 1, 100, 1] ，来模拟一下dp数组的状态变化，如下：
整体代码如下：
class Solution {
public:
int minCostClimbingStairs(vector<int>& cost) {
vector<int> dp(cost.size() + 1);
dp[0] = 0;
dp[1] = 0;
for(int i = 2; i <= cost.size(); i++){
dp[i] = min(dp[i - 1] + cost[i - 1], dp[i - 2] + cost[i - 2]);
}
return dp[cost.size()];
}
};
文章评论