交换机需要多大 buffer(续:更一般的原理)

前面用 aimd 系统分析了交换机 buffer 需求量随流数量增加而减少，今天从更一般的角度继续分析这事。

将交换机建模为一个 m/m/1 排队系统，多流场景下它就会变成一个 m/g/1 排队系统，而这事比前面的 aimd 系统分析更容易推导。

m/m/1 系统中的 n 条流相当于 n 个参数为 λ 的泊松过程的叠加，如果带宽资源恰好均分，结果就是一个参数为 n(λ/n) = λ 的泊松过程，看起来没有什么变化，但这是事实吗？

统计复用的波动和稳定性，背后就是大数定律和中心极限定理。先从大数定律给出直感觉。

设 X₁，X₂，X₃，…，Xₙ 为来自 n 个泊松过程的随机变量，它们具有相同的期望值 λ/n 和方差 λ/n。这些随机变量的平均值为 Sₙ = (X₁ + X₂ + X₃ + … + Xₙ) / n，根据大数定律，对于任意 ε > 0，有 lim(n→∞) P(|Sₙ - λ/n| ≥ ε) = 0，所以 Sₙ 趋向于固定值 λ/n，n 非常非常大时，叠加效果 nSₙ 就等于 λ，不再波动，当 n 虽非无穷但也非常大时，叠加效果 nSₙ 则围绕在 λ 周围微弱波动，我们将 buffer 作为吸收统计波动的工具，波动越微弱，所需 buffer 就越小。

现在中心极限定理出来解释一下为什么叠加后参数依然为 λ 的泊松过程却带来了巨大变化，极大减弱了波动。

当 n 非常非常大时，泊松分布叠加后将越来越像正态分布，随之 m/m/1 系统也逐渐变成 m/g/1 系统，而对于 m/g/1 系统，计算排队时延，队列容量的公式与 m/m/1 的泊松分布假设完全不同，此处不赘述。

来定性分析一下中心极限定理的结论。设 X₁，X₂，X₃，…，Xₙ 为来自 λ/n 泊松分布的随机变量，n 趋向 ∞ 时正态分布的期望和方差分别为 λ/n 和 λ^2/n3，将 n 个这样的正态分布叠加依然是正态分布，期望和方差分别为 nλ/n = λ，nλ^2/n3 = λ^2/n2，其标准差为 λ/n，与 n 成反比。由此可见，从中心极限定理得到了和大数定律中得到的一致的结论，即随着 n 增加，到达过程的变异性将降低，波动性减少，对 buffer 需求减少。

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