算法笔记——曼哈顿距离，切比雪夫距离，曼哈顿距离之和 P3964 [TJOI2013]松鼠聚会

P3964 [TJOI2013]松鼠聚会

题目描述

草原上住着一群小松鼠，每个小松鼠都有一个家。时间长了，大家觉得应该聚一聚。但是草原非常大，松鼠们都很头疼应该在谁家聚会才最合理。

每个小松鼠的家可以用一个点 (x,y)(x,y) 表示,两个点的距离定义为点 (x,y)(x,y) 和它周围的 88 个点 (x-1,y)(x−1,y)，(x+1,y)(x+1,y)，(x,y-1)(x,y−1)，(x,y+1)(x,y+1)，(x-1,y+1)(x−1,y+1)，(x-1,y-1)(x−1,y−1)，(x+1,y+1)(x+1,y+1)，(x+1,y-1)(x+1,y−1) 距离为 11。

输入格式

第一行是一个整数 NN，表示有多少只松鼠。接下来 NN 行，第 ii 行是两个整数 xx 和 yy，表示松鼠 ii 的家的坐标。

输出格式

一个整数，表示松鼠为了聚会走的路程和最小是多少。

输入输出样例

输入 #1复制

6
-4 -1
-1 -2
2 -4
0 2
0 3
5 -2

输出 #1复制

20

输入 #2复制

6
0 0
2 0
-5 -2
2 -2
-1 2
4 0

输出 #2复制

15

说明/提示

样例解释

在第一个样例中，松鼠在第二只松鼠家 (-1,-2)(−1,−2) 聚会；在第二个样例中，松鼠在第一只松鼠家 (0,0)(0,0) 聚会。

数据范围

• 30%30% 的数据，0\le N \le 10000≤N≤1000；
• 100%100%的数据，$0\le N\le 10^{5}0\le N\le 105，-10^9\le x-10^9\le xy\le 10^{9}y\le 10^9$。

这题主要是求曼哈顿距离之和，原本题意是求切比雪夫距离的最小值，因为哈曼顿距离计算更加快捷，所以我们转化为哈曼顿的坐标，除二的操作可以在最后结果除。

曼哈顿距离之和推导过程详细

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include <climits>
#include <stdio.h>
typedef long long ll;
const ll maxn=1e6 + 5;
using namespace std;
ll x[maxn],y[maxn],hx[maxn],hy[maxn];
ll sumx[maxn],sumy[maxn];
/* 距离最小： 1、输入 1.5、排序，求前缀和 2、切比雪夫转化为哈曼顿坐标系 3、计算到所有点的哈曼顿距离 4、找最小 */
int n;
ll solve(int i){
    
    ll xi=lower_bound(hx+1,hx+1+n,x[i]) -hx;
    ll yi=lower_bound(hy+1,hy+n+1,y[i]) -hy;
    return xi*1LL*x[i]-sumx[xi]+sumx[n]-sumx[xi]-(n-xi)*1LL*x[i]+
        yi*1LL*y[i]-sumy[yi]+sumy[n]-sumy[yi]-(n-yi)*1LL*y[i];
}

int main()
{
    
    ios_base::sync_with_stdio(0);
	cin.tie(0);
    cin>>n;
    int xx,yy;
    for(int i=1;i<=n;i++){
    
        cin>>xx>>yy;
        x[i]=hx[i]=xx+yy;
        y[i]=hy[i]=xx-yy;//转化为哈曼顿坐标系
    }
    sort(hx+1,hx+n+1);
    sort(hy+1,hy+n+1);//如果要使用公式，那么数组必须有序，所以要先排序
    for(int i=1;i<=n;i++){
    
        sumx[i]=sumx[i-1]+hx[i];
        sumy[i]=sumy[i-1]+hy[i];//提前算好前缀和
    }
    ll ans=LLONG_MAX;
    for(int i=1;i<=n;i++){
    
        ans=min(ans,solve(i));
    }
    //cout<<(ans>>1LL)<<endl;
    printf("%lld", ans >> 1LL);//最后再除二
}