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数字信号处理-3-函数的正交

2022-11-24 21:47:16小何才露尖尖角

0 导读

如果函数成正交关系,那么它们的积的定积分为 0。反过来说就是,如果两个函数相乘的定积分值为 0,那么称这两个函数正交。sinx 与 cosx 正交,sinnx 与 sinmx 正交(m与n不相等),cosnx 与 cosmx 正交(m与n不相等),sinmx 与 cosmx正交。

1 函数正交定义

如果函数成正交关系,那么它们的积的定积分为 0。反过来说就是,如果两个函数相乘的定积分值为 0,那么称这两个函数正交

2 正交函数证明

2.1 图形化证明

下图最上面为 y = sinx * cosx =1/2 * sinx (积和公式)的图形,中间为 cosx 的图形,最下面是 sinx 的图形

相乘后波峰的定积分是正数,而在波谷,函数的值是负数,面积与波峰相等,但定积分的值是负数。所以,两者相乘定积分的结果为 0 ,故 sinx 与 cosx 函数正交。
在这里插入图片描述

2.2 数学计算证明

sinx 与 cosx 定积分
在这里插入图片描述
sinx 与 sin2x 定积分
在这里插入图片描述可以推广到 sinnx 与 sinmx,当 n 与 m 不相等时,sinnx 与 sinmx 正交

同理 cosnx 与 cosmx,当 n 与 m 不相等时,cosnx 与 cosmx 正交。

而且 sinmx 与 cosmx,不论 m 为何值,它们之间总是成正交关系。

3 y=sin2x 与 y=cos2x 的定积分

在这里插入图片描述
结果为 π。因为 cosx 是 sinx 滞后 π/2 的函数,所以 cos2x 的定积分也是 π

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