当前位置:网站首页>数字信号处理-4-三角函数合成与傅里叶级数

数字信号处理-4-三角函数合成与傅里叶级数

2022-11-24 21:47:16小何才露尖尖角

1 三角函数合成

函数正交(数字信号处理-3-函数的正交),那它们相互之间无法通过组合得出对方的表达式,如:sinx 与 cosx 正交,acosnx 是无法表示 sinx 的。相互正交的各类三角函数是制作许多波形的基本单位。

1.1 同周期函数合成

acosx 与 bsinx 同周期,不同振幅。将两个函数画在分别以 a 和 b 为半径的圆周上。cosx 与 sinx 两者相差 π/2(90度)(数字信号处理-2-三角函数与谱),两者呈正交关系,使用矢量的合成。合成向量表示为 acosx + bsinx 。
在这里插入图片描述
合成后的半径为 r = a 2 + b 2 r=\sqrt{ {a}^{2}+{b}^{2}} r=a2+b2

2cosx+2sinx 的波形的振幅是 r = 2 2 + 2 2 = 8 = 2.828 r=\sqrt{ {2}^{2}+{2}^{2}}=\sqrt{8}=2.828 r=22+22=8=2.828
在这里插入图片描述
将 a 与 b 进行恰当的组合,虽然不能改变周期,但能自由组合成各种振幅和相位。sinnx 与 cosnx 合成时是 n 个周期,也即对应角频率 ω。这个 n 周期与 r 组合就能得到频谱图。
、

1.2 周期不同三角函数合成

同样,可以对不同周期三角函数合成
如 sinx + sin2x :
在这里插入图片描述
sinx+0.5cos2x :
在这里插入图片描述

2 傅里叶级数

如果将多个 sin 与 cos 函数进行合成,就能得到更加复杂的函数。

傅里叶级数用公式表示,如下:
在这里插入图片描述
常数项 1/2a0 能使三角函数合成的波形全体上下移动

在 Σ 中的第 n 项,这个 n 既决定了第 n 项振幅大小的数值,也是第 n 项三角函数的周期

傅里叶级数展开要求 F(x) 有某个周期特性,也就是以利用周期函数的合成为前提。对于非周期函数,取某个区间,以这个区间内的波形为周期波形而重复出现,形成周期函数,然后就能对波形进行展开了。

a1、a2、a3…b1、b2、b3叫做傅里叶系数,这些系数的值能决定 F(x)波形的形状。

看一个波形合成的例子, ansinnx,这里的 n 从1、2…到 40。an为 n 的倒数,an=1、1/2、1/3…。
在这里插入图片描述

3 时间函数与频率谱

在半径为 3 的圆周上,以角速度(角频率) ω 旋转的点可以用 y =3sinωt = 3sinx 表示, x 表示为 ωt,其中 ω 固定,x 表示 t 的函数 。同理,在半径为 4 的圆周上,以 2ωt 旋转的点可以用 y = 4sin2x 表示。在半径为 2 的圆周上,以 3ωt 旋转的点可以用 y = 2sin3x 表示。将这些函数加起来,得到如下结果。
在这里插入图片描述
这种随时间变化的函数叫做时间函数。接下来,以 ω 为横轴,纵轴为各个角频率的振幅,将上图转换为频率谱的图像,这样就完成了从时间函数到频率谱转换的流程。
在这里插入图片描述

参考

漫画傅里叶解析
Python数字信号处理应用

原网站

版权声明
本文为[小何才露尖尖角]所创,转载请带上原文链接,感谢
https://blog.csdn.net/weixin_40994552/article/details/127973074

随机推荐