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数字信号处理-5-傅里叶分析

2022-11-24 21:47:15小何才露尖尖角

1 傅里叶系数

傅里叶级数用公式如下:
在这里插入图片描述
a0、a1、a2、a3…b1、b2、b3…叫做傅里叶系数。cosnx 或 sinnx 中的 n 对应着频率,决定 sin、cos 大小的系数是 an、bn

2 傅里叶变换

步骤1 求傅里叶系数

从原波形 F(x) 中求傅里叶系数中的 a0、a1、a2、a3…b1、b2、b3…叫做“求解傅里叶系数”。也就是,从各种频率成分中,抽取出某一特定的成分的过程。

求解特定成分的频率需要用到函数的正交,正交函数乘积的定积分结果为 0。sinnx 与 cosnx 都与自身不成正交关系。

首先求 cos 的傅里叶系数 an,如果想要结果只剩下 ancosnx,那么将 F(x) 全体乘以 cosnx,然后做定积分,这样就剩下一个 cos 函数的积分值,其它函数都因为正交关系积分结果都为 0。

∫ 0 2 π F ( x ) c o s n x d x = ∫ 0 2 π a n ∗ c o s n x ∗ c o s n x d x = a n ∫ 0 2 π c o s n x ∗ c o s n x d x \int_{0}^{2π}{ F(x)cosnx}dx= \int_{0}^{2π}{ a_n*cosnx*cosnx}dx= a_n\int_{0}^{2π}{cosnx*cosnx}dx 02πF(x)cosnxdx=02πancosnxcosnxdx=an02πcosnxcosnxdx

而 cosnx 与自身不正交,sinnx 与 cosnx 的定积分结果都等于 π
在这里插入图片描述
cosnx 对应的系数是 an,那只要求出式子的积分值,然后除以 π 就行了。
∫ 0 2 π F ( x ) c o s n x d x = ∫ 0 2 π a n c o s n x ∗ c o s n x d x = a n π \int_{0}^{2π}{ F(x)cosnx}dx= \int_{0}^{2π}{ a_ncosnx*cosnx}dx= a_nπ 02πF(x)cosnxdx=02πancosnxcosnxdx=anπ
也即:
在这里插入图片描述
对于 a0。复杂的波形实际上是由许多 sin 和 cos 函数组成。无论是 sin 还是 cos 函数,整周期内它们的图围成的面积都是 0。而多出来的部分就是 a0
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即使是复杂的波形,面积也等于 2πa0,所以
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到此就得到求傅里叶系数的三个表达式:
在这里插入图片描述

步骤2 计算振幅

算出来的 sinnx 与 cosnx 具有相同的周期(频率),需要综合两者以求得该频率成分的大小:
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步骤3 绘制频率谱

按照 n(频率)从小到大的顺序排列画在图形中就得到了频率谱。
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参考

漫画傅里叶解析
Python数字信号处理应用

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