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OMG, I never thought, binary search and poetry?!

2022-09-23 08:51:2651CTO


OMG,我从来没想过,二分查找还有诗?!_搜索

下面开始今天的学习~

OMG,我从来没想过,二分查找还有诗?!_搜索_02

作者:labuladong  

公众号:labuladong

二分查找是极其简单容易理解的一种算法,但它的变形与细节也是极其繁杂的,一不小心就容易踩坑.

我的朋友 labuladong(公众号labuladong) 居然为二分查找写了一首诗,惊呆了!

以下为全文.

这篇文章 将三种二分形式以一个框架统一起来了,以不变应万变,你遇到啥问题直接改两行就完事儿了.

为此我还特意作了首诗,可以说无敌的存在,建议收藏.

先给大家讲个笑话乐呵一下:

有一天阿东到图书馆借了 N 本书,出图书馆的时候,警报响了,于是保安把阿东拦下,要检查一下哪本书没有登记出借.阿东正准备把每一本书在报警器下过一下,以找出引发警报的书,但是保安露出不屑的眼神:你连二分查找都不会吗?于是保安把书分成两堆,让第一堆过一下报警器,报警器响;于是再把这堆书分成两堆…… 最终,检测了 logN 次之后,保安成功的找到了那本引起警报的书,露出了得意和嘲讽的笑容.于是阿东背着剩下的书走了.

从此,图书馆丢了 N - 1 本书.

二分查找不简单,Knuth 大佬(发明 KMP 算法的那位)都说二分查找:思路很简单,细节是魔鬼.

补充:​ ​动画:七分钟理解什么是KMP算法​

很多人喜欢拿整型溢出的 bug 说事儿,但是二分查找真正的坑根本就不是那个细节问题,而是在于到底要给​​mid​​​加一还是减一,while 里到底用​​<=​​​还是​​<​​.

你要是没有正确理解这些细节,写二分肯定就是玄学编程,有没有 bug 只能靠菩萨保佑.我特意写了一首诗来歌颂该算法,概括本文的主要内容,建议保存


OMG,我从来没想过,二分查找还有诗?!_搜索_03

你等会看完本文再回来读读,就有味道了.

本文就来探究几个最常用的二分查找场景:寻找一个数、寻找左侧边界、寻找右侧边界.而且,我们就是要深入细节,比如不等号是否应该带等号,mid 是否应该加一等等.

以问答的形式,分析这些细节的差异以及出现这些差异的原因,保证你能灵活准确地写出正确的二分查找算法.

零、二分查找框架

      
      
int binarySearch( int[] nums, int target) {
int left = 0, right = . . .;

while( . . .) {
int mid = left + ( right - left) / 2;
if ( nums[ mid] == target) {
. . .
} else if ( nums[ mid] < target) {
left = . . .
} else if ( nums[ mid] > target) {
right = . . .
}
}
return . . .;
}
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分析二分查找的一个技巧是:不要出现 else,而是把所有情况用 else if 写清楚,这样可以清楚地展现所有细节.本文都会使用 else if,旨在讲清楚,读者理解后可自行简化.

其中​​...​​标记的部分,就是可能出现细节问题的地方,当你见到一个二分查找的代码时,首先注意这几个地方.后文用实例分析这些地方能有什么样的变化.

另外声明一下,计算 mid 时需要防止溢出,代码中​​left + (right - left) / 2​​​就和​​(left + right) / 2​​​的结果相同,但是有效防止了​​left​​​和​​right​​太大直接相加导致溢出.

一、寻找一个数(基本的二分搜索)

这个场景是最简单的,肯能也是大家最熟悉的,即搜索一个数,如果存在,返回其索引,否则返回 -1.

      
      
int binarySearch( int[] nums, int target) {
int left = 0;
int right = nums . length - 1; // 注意

while( left <= right) {
int mid = left + ( right - left) / 2;
if( nums[ mid] == target)
return mid;
else if ( nums[ mid] < target)
left = mid + 1; // 注意
else if ( nums[ mid] > target)
right = mid - 1; // 注意
}
return - 1;
}
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1、为什么 while 循环的条件中是 <=,而不是 <

答:因为初始化​​right​​​的赋值是​​nums.length - 1​​​,即最后一个元素的索引,而不是​​nums.length​​.

这二者可能出现在不同功能的二分查找中,区别是:前者相当于两端都闭区间​​[left, right]​​​,后者相当于左闭右开区间​​[left, right)​​​,因为索引大小为​​nums.length​​是越界的.

我们这个算法中使用的是前者​​[left, right]​​两端都闭的区间.这个区间其实就是每次进行搜索的区间.

什么时候应该停止搜索呢?当然,找到了目标值的时候可以终止:

      
      
if( nums[ mid] == target)
return mid;
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但如果没找到,就需要 while 循环终止,然后返回 -1.那 while 循环什么时候应该终止?搜索区间为空的时候应该终止,意味着你没得找了,就等于没找到嘛.

​while(left <= right)​​​的终止条件是​​left == right + 1​​​,写成区间的形式就是​​[right + 1, right]​​​,或者带个具体的数字进去​​[3, 2]​​,可见这时候区间为空,因为没有数字既大于等于 3 又小于等于 2 的吧.所以这时候 while 循环终止是正确的,直接返回 -1 即可.

​while(left < right)​​​的终止条件是​​left == right​​​,写成区间的形式就是​​[left, right]​​​,或者带个具体的数字进去​​[2, 2]​​,这时候区间非空,还有一个数 2,但此时 while 循环终止了.也就是说这区间​​[2, 2]​​被漏掉了,索引 2 没有被搜索,如果这时候直接返回 -1 就是错误的.

当然,如果你非要用​​while(left < right)​​也可以,我们已经知道了出错的原因,就打个补丁好了:

      
      
//...
while( left < right) {
// ...
}
return nums[ left] == target ? left : - 1;
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2、为什么left = mid + 1,​right = mid - 1​?我看有的代码是​right = mid​或者​left = mid​,没有这些加加减减,到底怎么回事,怎么判断

答:这也是二分查找的一个难点,不过只要你能理解前面的内容,就能够很容易判断.

刚才明确了「搜索区间」这个概念,而且本算法的搜索区间是两端都闭的,即​​[left, right]​​​.那么当我们发现索引​​mid​​​不是要找的​​target​​时,下一步应该去搜索哪里呢?

当然是去搜索​​[left, mid-1]​​​或者​​[mid+1, right]​​对不对?因为mid已经搜索过,应该从搜索区间中去除.

3、此算法有什么缺陷

答:至此,你应该已经掌握了该算法的所有细节,以及这样处理的原因.但是,这个算法存在局限性.

比如说给你有序数组​​nums = [1,2,2,2,3]​​​,​​target​​​为 2,此算法返回的索引是 2,没错.但是如果我想得到​​target​​​的左侧边界,即索引 1,或者我想得到​​target​​的右侧边界,即索引 3,这样的话此算法是无法处理的.

这样的需求很常见,你也许会说,找到一个 target,然后向左或向右线性搜索不行吗?可以,但是不好,因为这样难以保证二分查找对数级的复杂度了.

我们后续的算法就来讨论这两种二分查找的算法.

二、寻找左侧边界的二分搜索

以下是最常见的代码形式,其中的标记是需要注意的细节:

      
      
int left_bound( int[] nums, int target) {
if ( nums . length == 0) return - 1;
int left = 0;
int right = nums . length; // 注意

while ( left < right) { // 注意
int mid = ( left + right) / 2;
if ( nums[ mid] == target) {
right = mid;
} else if ( nums[ mid] < target) {
left = mid + 1;
} else if ( nums[ mid] > target) {
right = mid; // 注意
}
}
return left;
}
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1、为什么 while 中是<而不是​<=​?

答:用相同的方法分析,因为​​right = nums.length​​​而不是​​nums.length - 1​​​.因此每次循环的「搜索区间」是​​[left, right)​​左闭右开.

​while(left < right)​​​终止的条件是​​left == right​​​,此时搜索区间​​[left, left)​​为空,所以可以正确终止.

PS:这里先要说一个搜索左右边界和上面这个算法的一个区别,也是很多读者问的:刚才的right不是​nums.length - 1​吗,为啥这里非要写成​nums.length​使得「搜索区间」变成左闭右开呢

因为对于搜索左右侧边界的二分查找,这种写法比较普遍,我就拿这种写法举例了,保证你以后看到这类代码可以理解.其实你非要用两端都闭的写法反而更简单,我会在后面写相关的代码,把三种二分搜索都用一种两端都闭的写法统一起来,你耐心往后看就行了.

2、为什么没有返回 -1 的操作?如果nums中不存在​target​这个值,怎么办

答:因为要一步一步来,先理解一下这个「左侧边界」有什么特殊含义:


OMG,我从来没想过,二分查找还有诗?!_二分搜索_04

对于这个数组,算法会返回 1.这个 1 的含义可以这样解读:​​nums​​中小于 2 的元素有 1 个.

比如对于有序数组​​nums = [2,3,5,7]​​​,​​target = 1​​​,算法会返回 0,含义是:​​nums​​中小于 1 的元素有 0 个.

再比如说​​nums = [2,3,5,7], target = 8​​​,算法会返回 4,含义是:​​nums​​中小于 8 的元素有 4 个.

综上可以看出,函数的返回值(即​​left​​​变量的值)取值区间是闭区间​​[0, nums.length]​​,所以我们简单添加两行代码就能在正确的时候 return -1:

      
      
while ( left < right) {
//...
}
// target 比所有数都大
if ( left == nums . length) return - 1;
// 类似之前算法的处理方式
return nums[ left] == target ? left : - 1;
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3、为什么left = mid + 1,​right = mid​?和之前的算法不一样

答:这个很好解释,因为我们的「搜索区间」是​​[left, right)​​​左闭右开,所以当​​nums[mid]​​​被检测之后,下一步的搜索区间应该去掉​​mid​​​分割成两个区间,即​​[left, mid)​​​或​​[mid + 1, right)​​.

4、为什么该算法能够搜索左侧边界

答:关键在于对于​​nums[mid] == target​​这种情况的处理:

      
      
if ( nums[ mid] == target)
right = mid;
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可见,找到 target 时不要立即返回,而是缩小「搜索区间」的上界​​right​​​,在区间​​[left, mid)​​中继续搜索,即不断向左收缩,达到锁定左侧边界的目的.

5、为什么返回left而不是​right​

答:都是一样的,因为 while 终止的条件是​​left == right​​.

6、能不能想办法把right变成​nums.length - 1​,也就是继续使用两边都闭的「搜索区间」?这样就可以和第一种二分搜索在某种程度上统一起来了.

答:当然可以,只要你明白了「搜索区间」这个概念,就能有效避免漏掉元素,随便你怎么改都行.下面我们严格根据逻辑来修改:

因为你非要让搜索区间两端都闭,所以​​right​​​应该初始化为​​nums.length - 1​​​,while 的终止条件应该是​​left == right + 1​​​,也就是其中应该用​​<=​​:

      
      
int left_bound( int[] nums, int target) {
// 搜索区间为 [left, right]
int left = 0, right = nums . length - 1;
while ( left <= right) {
int mid = left + ( right - left) / 2;
// if else ...
}
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因为搜索区间是两端都闭的,且现在是搜索左侧边界,所以​​left​​​和​​right​​的更新逻辑如下:

      
      
if ( nums[ mid] < target) {
// 搜索区间变为 [mid+1, right]
left = mid + 1;
} else if ( nums[ mid] > target) {
// 搜索区间变为 [left, mid-1]
right = mid - 1;
} else if ( nums[ mid] == target) {
// 收缩右侧边界
right = mid - 1;
}
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由于 while 的退出条件是​​left == right + 1​​​,所以当​​target​​​比​​nums​​中所有元素都大时,会存在以下情况使得索引越界:


OMG,我从来没想过,二分查找还有诗?!_搜索_05

因此,最后返回结果的代码应该检查越界情况:

      
      
if ( left >= nums . length || nums[ left] != target)
return - 1;
return left;
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至此,整个算法就写完了,完整代码如下:

      
      
int left_bound( int[] nums, int target) {
int left = 0, right = nums . length - 1;
// 搜索区间为 [left, right]
while ( left <= right) {
int mid = left + ( right - left) / 2;
if ( nums[ mid] < target) {
// 搜索区间变为 [mid+1, right]
left = mid + 1;
} else if ( nums[ mid] > target) {
// 搜索区间变为 [left, mid-1]
right = mid - 1;
} else if ( nums[ mid] == target) {
// 收缩右侧边界
right = mid - 1;
}
}
// 检查出界情况
if ( left >= nums . length || nums[ left] != target)
return - 1;
return left;
}
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这样就和第一种二分搜索算法统一了,都是两端都闭的「搜索区间」,而且最后返回的也是​​left​​变量的值.只要把住二分搜索的逻辑,两种形式大家看自己喜欢哪种记哪种吧.

三、寻找右侧边界的二分查找

类似寻找左侧边界的算法,这里也会提供两种写法,还是先写常见的左闭右开的写法,只有两处和搜索左侧边界不同,已标注:

      
      
int right_bound( int[] nums, int target) {
if ( nums . length == 0) return - 1;
int left = 0, right = nums . length;

while ( left < right) {
int mid = ( left + right) / 2;
if ( nums[ mid] == target) {
left = mid + 1; // 注意
} else if ( nums[ mid] < target) {
left = mid + 1;
} else if ( nums[ mid] > target) {
right = mid;
}
}
return left - 1; // 注意
}
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1、为什么这个算法能够找到右侧边界?

答:类似地,关键点还是这里:

      
      
if ( nums[ mid] == target) {
left = mid + 1;
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当​​nums[mid] == target​​​时,不要立即返回,而是增大「搜索区间」的下界​​left​​,使得区间不断向右收缩,达到锁定右侧边界的目的.

2、为什么最后返回left - 1而不像左侧边界的函数,返回​left​?而且我觉得这里既然是搜索右侧边界,应该返回​right​才对.

答:首先,while 循环的终止条件是​​left == right​​​,所以​​left​​​和​​right​​​是一样的,你非要体现右侧的特点,返回​​right - 1​​好了.

至于为什么要减一,这是搜索右侧边界的一个特殊点,关键在这个条件判断:

      
      
if ( nums[ mid] == target) {
left = mid + 1;
// 这样想: mid = left - 1
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OMG,我从来没想过,二分查找还有诗?!_二分搜索_06

因为我们对​​left​​​的更新必须是​​left = mid + 1​​​,就是说 while 循环结束时,​​nums[left]​​​一定不等于​​target​​​了,而​​nums[left-1]​​​可能是​​target​​.

至于为什么​​left​​​的更新必须是​​left = mid + 1​​,同左侧边界搜索,就不再赘述.

3、为什么没有返回 -1 的操作?如果nums中不存在​target​这个值,怎么办?

答:类似之前的左侧边界搜索,因为 while 的终止条件是​​left == right​​​,就是说​​left​​​的取值范围是​​[0, nums.length]​​,所以可以添加两行代码,正确地返回 -1:

      
      
while ( left < right) {
// ...
}
if ( left == 0) return - 1;
return nums[ left - 1] == target ? ( left - 1) : - 1;
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4、是否也可以把这个算法的「搜索区间」也统一成两端都闭的形式呢?这样这三个写法就完全统一了,以后就可以闭着眼睛写出来了.

答:当然可以,类似搜索左侧边界的统一写法,其实只要改两个地方就行了:

      
      
int right_bound( int[] nums, int target) {
int left = 0, right = nums . length - 1;
while ( left <= right) {
int mid = left + ( right - left) / 2;
if ( nums[ mid] < target) {
left = mid + 1;
} else if ( nums[ mid] > target) {
right = mid - 1;
} else if ( nums[ mid] == target) {
// 这里改成收缩左侧边界即可
left = mid + 1;
}
}
// 这里改为检查 right 越界的情况,见下图
if ( right < 0 || nums[ right] != target)
return - 1;
return right;
}
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当​​target​​​比所有元素都小时,​​right​​会被减到 -1,所以需要在最后防止越界:


OMG,我从来没想过,二分查找还有诗?!_二分查找_07

至此,搜索右侧边界的二分查找的两种写法也完成了,其实将「搜索区间」统一成两端都闭反而更容易记忆,你说是吧?

四、逻辑统一

来梳理一下这些细节差异的因果逻辑:

第一个,最基本的二分查找算法

      
      
因为我们初始化 right = nums . length - 1
所以决定了我们的「搜索区间」是 [ left, right]
所以决定了 while ( left <= right)
同时也决定了 left = mid + 1 right = mid - 1

因为我们只需找到一个 target 的索引即可
所以当 nums[ mid] == target 时可以立即返回
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第二个,寻找左侧边界的二分查找

      
      
因为我们初始化 right = nums . length
所以决定了我们的「搜索区间」是 [ left, right)
所以决定了 while ( left < right)
同时也决定了 left = mid + 1 right = mid

因为我们需找到 target 的最左侧索引
所以当 nums[ mid] == target 时不要立即返回
而要收紧右侧边界以锁定左侧边界
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第三个,寻找右侧边界的二分查找

      
      
因为我们初始化 right = nums . length
所以决定了我们的「搜索区间」是 [ left, right)
所以决定了 while ( left < right)
同时也决定了 left = mid + 1 right = mid

因为我们需找到 target 的最右侧索引
所以当 nums[ mid] == target 时不要立即返回
而要收紧左侧边界以锁定右侧边界

又因为收紧左侧边界时必须 left = mid + 1
所以最后无论返回 left 还是 right,必须减一
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对于寻找左右边界的二分搜索,常见的手法是使用左闭右开的「搜索区间」,我们还根据逻辑将「搜索区间」全都统一成了两端都闭,便于记忆,只要修改两处即可变化出三种写法

      
      
int binary_search( int[] nums, int target) {
int left = 0, right = nums . length - 1;
while( left <= right) {
int mid = left + ( right - left) / 2;
if ( nums[ mid] < target) {
left = mid + 1;
} else if ( nums[ mid] > target) {
right = mid - 1;
} else if( nums[ mid] == target) {
// 直接返回
return mid;
}
}
// 直接返回
return - 1;
}

int left_bound( int[] nums, int target) {
int left = 0, right = nums . length - 1;
while ( left <= right) {
int mid = left + ( right - left) / 2;
if ( nums[ mid] < target) {
left = mid + 1;
} else if ( nums[ mid] > target) {
right = mid - 1;
} else if ( nums[ mid] == target) {
// 别返回,锁定左侧边界
right = mid - 1;
}
}
// 最后要检查 left 越界的情况
if ( left >= nums . length || nums[ left] != target)
return - 1;
return left;
}


int right_bound( int[] nums, int target) {
int left = 0, right = nums . length - 1;
while ( left <= right) {
int mid = left + ( right - left) / 2;
if ( nums[ mid] < target) {
left = mid + 1;
} else if ( nums[ mid] > target) {
right = mid - 1;
} else if ( nums[ mid] == target) {
// 别返回,锁定右侧边界
left = mid + 1;
}
}
// 最后要检查 right 越界的情况
if ( right < 0 || nums[ right] != target)
return - 1;
return right;
}
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如果以上内容你都能理解,那么恭喜你,二分查找算法的细节不过如此.

通过本文,你学会了:

1、分析二分查找代码时,不要出现 else,全部展开成 else if 方便理解.

2、注意「搜索区间」和 while 的终止条件,如果存在漏掉的元素,记得在最后检查.

3、如需定义左闭右开的「搜索区间」搜索左右边界,只要在​​nums[mid] == target​​时做修改即可,搜索右侧时需要减一.

4、如果将「搜索区间」全都统一成两端都闭,好记,只要稍改​​nums[mid] == target​​条件处的代码和返回的逻辑即可,推荐拿小本本记下,作为二分搜索模板.

现在可以去把我做的诗多读几遍,体会体会其中的味道,加深理解,哈哈哈!

END


OMG,我从来没想过,二分查找还有诗?!_二分搜索_08

 

OMG,我从来没想过,二分查找还有诗?!_搜索_09



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