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一元二次方程到规范场

2022-06-23 16:51:14小的时候可菜了

曹则贤开讲“从一元二次方程到规范场论” 中国科学院2022跨年科学演讲第三场全程回顾

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一元二次方程式两根推导

a x 2 + b x + c = a ( x 2 + b a x ) + c = a ( x 2 + b a x + b 2 4 a 2 − b 2 4 a 2 ) + c = a ( x + b 2 a ) 2 − b 2 4 a + 4 a c 4 a \begin{aligned} &ax^2+bx+c \\ &=a(x^2+\frac{b}{a}x)+c \\ &=a(x^2+\frac{b}{a}x+\frac{b^2}{4a^2}-\frac{b^2}{4a^2})+c \\ &=a(x+\frac{b}{2a})^2-\frac{b^2}{4a}+\frac{4ac}{4a} \end{aligned} ax2+bx+c=a(x2+abx)+c=a(x2+abx+4a2b24a2b2)+c=a(x+2ab)24ab2+4a4ac

移项,得
a ( x + b 2 a ) 2 = b 2 − 4 a c 4 a ( x + b 2 a ) 2 = b 2 − 4 a c 4 a 2 x + b 2 a = ± b 2 − 4 a c 2 a x = − b ± b 2 − 4 a c 2 a a(x+\frac{b}{2a})^2=\frac{b^2-4ac}{4a} \\ (x+\frac{b}{2a})^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2} \\ x+\frac{b}{2a}=\frac{\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\ x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} a(x+2ab)2=4ab24ac(x+2ab)2=4a2b24acx+2ab=2a±b24acx=2ab±b24ac

二次函数交点式推导

假设其两根为 x 1 x_1 x1 x 2 x_2 x2,则有
x 1 = − b + b 2 − 4 a c 2 a x 2 = − b − b 2 − 4 a c 2 a x_1=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\ x_2=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a} x1=2ab+b24acx2=2abb24ac
x 1 + x 2 x_1+x_2 x1+x2 x 1 x 2 x_1x_2 x1x2的结果为
x 1 + x 2 = − b + b 2 − 4 a c 2 a + − b − b 2 − 4 a c 2 a = − b a x 1 x 2 = ( − b ) 2 − ( b 2 − 4 a c ) 2 4 a 2 = c a x_1 + x_2=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}+\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=-\frac{b}{a} \\ x_1x_2=\frac{(-b)^2-(\sqrt{b^2-4ac})^2}{4a^2}=\frac{c}{a} x1+x2=2ab+b24ac+2abb24ac=abx1x2=4a2(b)2(b24ac)2=ac

a x 2 + b x + c 处 理 为 下 列 式 子 , 方 便 之 后 好 用 x 1 , x 2 替 代 = a ( x 2 + b a x + c a ) 将 式 中 的 b a 、 c a 用   x 1 、 x 2 表 示 = a ( x 2 − ( x 1 + x 2 ) x + x 1 x 2 ) = a [ ( x − x 1 ) ( x − x 2 ) ] \begin{aligned} &ax^2+bx+c \\ &处理为下列式子,方便之后好用x_1,x_2替代 \\ &=a(x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}) \\ &将式中的 \frac{b}{a}、\frac{c}{a}用~x_1、x_2表示 \\ &=a(x^2-(x_1+x_2)x+x_1x_2) \\ &=a[(x-x_1)(x-x_2)] \\ \end{aligned} ax2+bx+c便x1,x2=a(x2+abx+ac)abac x1x2=a(x2(x1+x2)x+x1x2)=a[(xx1)(xx2)]

用根自身来表示根

x 1 , 2 = − b ± b 2 − 4 a c 2 a 处 理 为 下 列 式 子 , 方 便 之 后 好 用 x 1 , x 2 替 代 = − 1 2 b a ± 1 4 ( b a ) 2 − c a 将 式 中 的 b a 、 c a 用   x 1 、 x 2 表 示 = 1 2 ( x 1 + x 2 ) ± 1 4 ( x 1 + x 2 ) 2 − x 1 x 2 \begin{aligned} &x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\ &处理为下列式子,方便之后好用x_1,x_2替代 \\ &=-\frac{1}{2}\frac{b}{a}\pm\sqrt{\frac{1}{4}(\frac{b}{a})^2-\frac{c}{a}} \\ &将式中的 \frac{b}{a}、\frac{c}{a}用~x_1、x_2表示 \\ &=\frac{1}{2}(x_1+x_2)\pm\sqrt{\frac{1}{4}(x_1+x_2)^2-x_1x_2} \\ \end{aligned} x1,2=2ab±b24ac便x1,x2=21ab±41(ab)2acabac x1x2=21(x1+x2)±41(x1+x2)2x1x2

一元三次方程

( a + b ) 3 = a 3 + b 3 + 3 a b ( a + b ) ( a − b ) 3 = a 3 − b 3 − 3 a b ( a − b ) (a+b)^3=a^3+b^3+3ab(a+b) \\ (a-b)^3=a^3-b^3-3ab(a-b) (a+b)3=a3+b3+3ab(a+b)(ab)3=a3b33ab(ab)

求解一元三次方程 x 3 + p x + q x^3+px+q x3+px+q,方法:约化,把一元三次方程约化成一元二次方程
令 x = u 1 3 + v 1 3 x 3 + p x + q = u + v + 3 u 1 3 v 1 3 ( u 1 3 + v 1 3 ) + p ( u 1 3 + v 1 3 ) + q = ( u + v + q ) + ( 3 u 1 3 v 1 3 + p ) ( u 1 3 + v 1 3 ) = ( u + v + q ) + ( 3 u 1 3 v 1 3 + p ) ( x ) 因 此 有 u + v + q = 0 3 u 1 3 v 1 3 + p = 0 → u 1 3 v 1 3 = − p 3 → u v = − ( p 3 ) 3 → v = − ( p 3 ) 3 1 u 代 入 上 式 u + − ( p 3 ) 3 1 u + q = 0 → u 2 + q u − ( p 3 ) 3 = 0 ( 一 元 三 次 方 程 → 一 元 二 次 方 程 ) u = − q ± q 2 + 4 ( p 3 ) 3 2 = − q 2 ± q 2 4 + ( p 3 ) 3 v = − q − u = − q ∓ q 2 + 4 ( p 3 ) 3 2 = − q 2 ∓ q 2 4 + ( p 3 ) 3 x = ( − q 2 ± q 2 4 + ( p 3 ) 3 ) 1 3 + ( − q 2 ∓ q 2 4 + ( p 3 ) 3 ) 1 3 \begin{aligned} &令x=u^{\frac{1}{3}}+v^{\frac{1}{3}} \\ &x^3+px+q \\ &=u+v+3u^{\frac{1}{3}}v^{\frac{1}{3}}(u^{\frac{1}{3}}+v^{\frac{1}{3}})+p(u^{\frac{1}{3}}+v^{\frac{1}{3}})+q \\ &=(u+v+q)+(3u^{\frac{1}{3}}v^{\frac{1}{3}}+p)(u^{\frac{1}{3}}+v^{\frac{1}{3}}) \\ &=(u+v+q)+(3u^{\frac{1}{3}}v^{\frac{1}{3}}+p)(x) \\ &因此有 \\ &u+v+q=0 \\ &3u^{\frac{1}{3}}v^{\frac{1}{3}}+p=0 \to u^{\frac{1}{3}}v^{\frac{1}{3}}=-\frac{p}{3} \to uv=-(\frac{p}{3})^3 \to v=-(\frac{p}{3})^3\frac{1}{u} 代入上式 \\ &u+-(\frac{p}{3})^3\frac{1}{u}+q=0 \to u^2+qu-(\frac{p}{3})^3=0(一元三次方程\to一元二次方程) \\ &u=\frac{-q\pm\sqrt{q^2+4(\frac{p}{3})^3}}{2}=-\frac{q}{2}\pm\sqrt{\frac{q^2}{4}+(\frac{p}{3})^3} \\ &v=-q-u=\frac{-q\mp\sqrt{q^2+4(\frac{p}{3})^3}}{2}=-\frac{q}{2}\mp\sqrt{\frac{q^2}{4}+(\frac{p}{3})^3} \\ &x=(-\frac{q}{2}\pm\sqrt{\frac{q^2}{4}+(\frac{p}{3})^3})^\frac{1}{3}+(-\frac{q}{2}\mp\sqrt{\frac{q^2}{4}+(\frac{p}{3})^3})^\frac{1}{3} \end{aligned} x=u31+v31x3+px+q=u+v+3u31v31(u31+v31)+p(u31+v31)+q=(u+v+q)+(3u31v31+p)(u31+v31)=(u+v+q)+(3u31v31+p)(x)u+v+q=03u31v31+p=0u31v31=3puv=(3p)3v=(3p)3u1u+(3p)3u1+q=0u2+qu(3p)3=0()u=2q±q2+4(3p)3=2q±4q2+(3p)3v=qu=2qq2+4(3p)3=2q4q2+(3p)3x=(2q±4q2+(3p)3)31+(2q4q2+(3p)3)31

方程根之间的等价性

一个方程若有个多个根,但根未知,则这些根之间都是等价的

比如,一个方程里面有一个根,一个是4,一个是3,许多人很容易误解4大于3,但是就这个方程本身来说,如果3、4都是这个方程的根,是一样的,是等价

代数方程的一般形式: ( x − x 1 ) ( x − x 2 ) … ( x − x n ) = 0 (x-x_1)(x-x_2)…(x-x_n)=0 (xx1)(xx2)(xxn)=0,从该角度来理解到底有多少根的时候,这个方程是有解的

复数的几何意义

有一个长度为 a a a线段,根据一点,将其分为两段,使得 x ( a − x ) = a 2 2 x(a-x)=\frac{a^2}{2} x(ax)=2a2成立,求 x x x的值,也就是线段上的位置
x ( a − x ) = a 2 2 x 2 − a x + a 2 2 = 0 x 1 , 2 = a 2 + ( ± a 2 − 2 a 2 2 ) = a 2 + ( ± a i 2 ) \begin{aligned} &x(a-x)=\frac{a^2}{2} \\ &x^2-ax+\frac{a^2}{2}=0 \\ &x_{1,2}=\frac{a}{2}+(\pm\frac{\sqrt{a^2-2a^2}}{2})=\frac{a}{2}+(\pm\frac{ai}{2}) \end{aligned} x(ax)=2a2x2ax+2a2=0x1,2=2a+(±2a22a2)=2a+(±2ai)
x x x的解当中存在虚数,说明题中要求的将线段分成两截的点不在线段上

法国人比埃(Adrien-Quentin Buée, 1748-1826)认为,这个方程根意味着分割点 x x x是在线段的上方或者下方——那个 i i i 指向垂直方向

复数是一个从一维空间二维空间扩展的概念

小女孩可能对方向的概念不是那么理解,她妈妈问她:“你现在是在我的左边还是右边?”,小女孩想了想,答道:“旁边”

四元数的引入

复数能够表示我们二维平面里面的转动

比如:在一个坐标轴上, 3 ± 1 = ( 2 , 4 ) 3\pm1=(2,4) 3±1=(2,4)在一条直线上,而 a ± i b a±ib a±ib 变成平面的扩展

但有人说,我们生活的空间不是二维而是三维的,所以,是否有一个数,使得能够在二维空间描述的物理同样适应于三维空间

所以有人想,是否可以把 a ± i b a±ib a±ib这样一个描述二维的数给表示成描述三维的数

2 D → 3 D 2D\to3D 2D3D z = a + b i → z = a + b i + c j z=a+bi \to z=a+bi+cj z=a+biz=a+bi+cj,其中 i 2 = − 1 , j 2 = − 1 i^2=-1, j^2=-1 i2=1,j2=1

两个相同三元数(三个未知数)的乘积如下
( a + b i + c j ) ( a + b i + c j ) = ( a 2 − b 2 − c 2 ) + ( 2 a b ) i + ( 2 a c ) j + b c ( i j + j i ) (a+bi+cj)(a+bi+cj)=(a^2-b^2-c^2)+(2ab)i+(2ac)j+bc(ij+ji) (a+bi+cj)(a+bi+cj)=(a2b2c2)+(2ab)i+(2ac)j+bc(ij+ji)

上式多出来了一项, 𝑏 𝑐 ( 𝑖 𝑗 + 𝑗 𝑖 ) 𝑏𝑐 (𝑖𝑗 + 𝑗𝑖) bc(ij+ji),如果令 i j = 0 或 i j = − j i ij=0或ij=-ji ij=0ij=ji ,可变为三项

数学中的项:基本算术单元,如: a x 2 + b x + c = 0 ( a ≠ 0 ) ax^2+bx+c=0(a\not=0) ax2+bx+c=0(a=0) 中, a x 2 ax^2 ax2叫作二次项, a a a是二次项系数; b x bx bx叫作一次项, b b b是一次项系数; c c c叫作常数项

但是,两个任意三元数的乘积,两个任意三元数模平方的乘积,结果都是四项
( a 2 + b 2 + c 2 ) ( x 2 + y 2 + z 2 ) = ( a x − b y − c z ) 2 + ( a y + b x ) 2 + ( a z + c x ) 2 + ( b z − c y ) 2 (a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2)=(ax-by-cz)^2+(ay+bx)^2+(az+cx)^2+(bz-cy)^2 (a2+b2+c2)(x2+y2+z2)=(axbycz)2+(ay+bx)2+(az+cx)2+(bzcy)2

哈密顿和他的夫人在沿着爱尔兰运河去开会的路上突然灵光一现,说既然两个三元数乘积永远等于四项,那从一开始就是四项不就完了吗?

于是令: q = a + b i + c j + d k q=a+bi+cj+dk q=a+bi+cj+dk,其中 i j = k , i k = j , j k = i , i j = − j i , i k = − k i , j k = − k j , i 2 = j 2 = k 2 = i j k = − 1 ij=k,ik=j,jk=i,ij=-ji,ik=-ki,jk=-kj,i^2=j^2=k^2=ijk=-1 ij=k,ik=j,jk=i,ij=ji,ik=ki,jk=kj,i2=j2=k2=ijk=1

四元数的乘积之后,结果太长,需对其简化,于是提出了一个新的概念

q = a + b i + c j + d k = r + v q=a+bi+cj+dk=r+v q=a+bi+cj+dk=r+v r r r 为标量, v = b i + c j + d k v=bi+cj+dk v=bi+cj+dk 为矢量
( r 1 , v 1 ) + ( r 2 , v 2 ) = ( r 1 + r 2 ,     v 1 + v 2 ) ( r 1 , v 1 ) ( r 2 , v 2 ) = ( r 1 r 2 − v 1 v 2 ,     r 1 v 2 + r 2 v 1 + v 1 v 2 )                                     矢 量 点 乘                   矢 量 叉 乘 ( 0 , v 1 ) ( 0 , v 2 ) = ( − v 1 v 2 ,     v 1 v 2 ) \begin{aligned} &(r_1,v_1)+(r_2,v_2)=(r_1+r_2,~~~v_1+v_2) \\ &(r_1,v_1)(r_2,v_2)=(r_1r_2-v_1v2,~~~r_1v_2+r_2v_1+v_1v_2) \\ &~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~矢量点乘~~~~~~~~~~~~~~~~~矢量叉乘 \\ &(0,v_1)(0,v_2)=(-v_1v2,~~~v_1v_2) \\ \end{aligned} (r1,v1)+(r2,v2)=(r1+r2,   v1+v2)(r1,v1)(r2,v2)=(r1r2v1v2,   r1v2+r2v1+v1v2)                                                    (0,v1)(0,v2)=(v1v2,   v1v2)
矢量可以有长度、有方向,但是,长度和方向不一定是必须的,也可以没有

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