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P2159 [SHOI2009]舞會(DP&高精)

2021-08-10 08:43:45 wx6110fa547fd20

P2159 [SHOI2009]舞會(DP&高精)

n = 200 n=200 n=200,考慮 n 3 n^3 n3 d p dp dp,但是本題沒有模數,所以要高精度,且高精常數巨大,所以考慮 n 2 n^2 n2 d p dp dp

f [ i ] [ j ] f[i][j] f[i][j] i i i對男人和女人中有 j j j對女人高於男人的方案數。

答案就是: a n s = ∑ i = 0 k f [ n ] [ i ] \large ans=\sum\limits_{i=0}^k f[n][i] ans=i=0kf[n][i]

考慮如何狀態轉移。

對於當前第 i i i個男人 a i a_i ai和第 i i i個女人 分情况討論。

1 : a i ≥ b i \large 1:a_i\ge b_i 1:aibi

然後分 j j j增加和不增加兩種情况。

j j j不增加: 首先我們統計一下 [ 1 , i ] [1,i] [1,i]中有多少個男人 ≥ b i \ge b_i bi,我們記為 c n t cnt cnt

這裏 c n t cnt cnt包括 i i i,是為了帶上 f [ i − 1 ] [ j ] f[i-1][j] f[i1][j]本來的貢獻。

顯然這 c n t cnt cnt對之前是男人更高的,因為他們都 ≥ b i \ge b_i bi,所以必然大於等於 b k b_k bk

因此這 c n t cnt cnt種情况是 j j j不增的。還有一種情况是從 j j j對裏交換, 因為原來是女人更高,交換了對應比特置的女人後,還是女人更高,且第 i i i個比特置男人還是高於女人。

所以貢獻是: f [ i ] [ j ] = f [ i − 1 ] [ j ] × ( j + c n t ) f[i][j]=f[i-1][j]\times (j+cnt) f[i][j]=f[i1][j]×(j+cnt)

然後 j j j增加的貢獻就是:總人數 i i i减去 j j j不增加的人數。

f [ i ] [ j ] = f [ i ] [ j ] + f [ i − 1 ] [ j − 1 ] × ( i − [ ( j − 1 ) + c n t ] ) f[i][j]=f[i][j]+f[i-1][j-1]\times (i-[(j-1)+cnt]) f[i][j]=f[i][j]+f[i1][j1]×(i[(j1)+cnt])

2. a i < b i \large 2.a_i<b_i 2.ai<bi

同理用 c n t cnt cnt來統計 [ 1 , i ) [1,i) [1,i)有多少女人高於 b i b_i bi

這裏不包括 i i i是為了帶上 f [ i − 1 ] [ j ] f[i-1][j] f[i1][j]本來的貢獻。

然後在女人更高的 j j j對中减去 c n t cnt cnt,就是交換後女人小於等於 a i a_i ai的,一加一减就是不增。

f [ i ] [ j ] = f [ i − 1 ] [ j ] × ( j − c n t ) f[i][j]=f[i-1][j]\times (j-cnt) f[i][j]=f[i1][j]×(jcnt)

然後增加的情况用 i i i减就可以。

f [ i ] [ j ] = ( f [ i ] [ j ] + f [ i − 1 ] [ j − 1 ] × ( i − ( j − 1 − c n t ) ) ) f[i][j]=(f[i][j]+f[i-1][j-1]\times (i-(j-1-cnt))) f[i][j]=(f[i][j]+f[i1][j1]×(i(j1cnt)))

答案很大,要高精,因為都是由前一個狀態轉移過來的,可滾動數組。

滾動數組注意每次初始化清零。

// Problem: P2159 [SHOI2009]舞會
// Contest: Luogu
// URL: https://www.luogu.com.cn/problem/P2159
// Memory Limit: 125 MB
// Time Limit: 1000 ms
// Date: 2021-07-23 09:31:24
// --------by Herio--------

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull; 
const int N=205,M=2e4+5,inf=0x3f3f3f3f,mod=1e9+7;
#define mst(a,b) memset(a,b,sizeof a)
#define PII pair<int,int>
#define fi first
#define se second
#define pb emplace_back
#define SZ(a) (int)a.size()
#define IOS ios::sync_with_stdio(false),cin.tie(0) 
void Print(int *a,int n){
	for(int i=1;i<n;i++)
		printf("%d ",a[i]);
	printf("%d\n",a[n]); 
}
struct num{
	int len,c[M];
	num(){}	//no parameter init
	num(int x){ mst(c,0);//init by number
	if(!x) len=1;
	else{len=0;while(x) c[++len]=x%10,x/=10;}
	}
	num operator =(int x){
		mst(c,0);
			if(!x) len=1;
		else{len=0;while(x) c[++len]=x%10,x/=10;}
		return *this;
	}
	num operator +(const num &b)const{	//高精加
		num ans(0);
		int l=max(len,b.len),p=0;
		ans.len=l;
	for(int i=1;i<=l;i++){
		 ans.c[i]=c[i]+b.c[i]+p;
		 p=ans.c[i]/10;
		 ans.c[i]%=10;
	}
	if(p) ans.c[++ans.len]=p;
	return ans;
	}
	num operator *(const num &b)const{	//高精乘高精
		num ans(0);
	int l=len+b.len-1,p=0;
	for(int i=1;i<=len;i++)
		for(int j=1;j<=b.len;j++)
			ans.c[i+j-1]+=c[i]*b.c[j];
	for(int i=1;i<=l;i++){
		ans.c[i+1]+=ans.c[i]/10;
		ans.c[i]%=10;
	}
	if(ans.c[l+1]) l++;ans.len=l;
	return ans;
	}
	num operator *(int &x){	//高精乘低精
		int p=0;
	 for(int i=1;i<=len;i++){
	 	  c[i]=c[i]*x+p;
	 	  p=c[i]/10;
	 	  c[i]%=10;
	 }
	 while(p){
	 	c[++len]=p;
	 	p/=10;
	 	c[len]%=10;
	 }
	 return *this;
	}
};
void Print(num a){
	while(!a.c[a.len]&&a.len>1) a.len--;
	for(int i=a.len;i;i--)
		printf("%d",a.c[i]);
	printf("\n");
}
int n,k;
num f[2][N];
int a[N],b[N];
int main(){
	scanf("%d%d",&n,&k);
	for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]);
	for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&b[i]);
	sort(a+1,a+n+1),sort(b+1,b+n+1);
	f[0][0]=1;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		int cnt=0,ii=i&1;
		for(int j=0;j<=i;j++) f[ii][j]=0; 
		if(a[i]>=b[i]){
		for(int j=1;j<=i;j++) if(a[j]>=b[i]) cnt++;
		for(int j=0;j<=i;j++)
			f[ii][j]=f[!ii][j]*(j+cnt);
		for(int j=1;j<=i-cnt;j++)
			f[ii][j]=(f[ii][j]+f[!ii][j-1]*(i-(j-1)-cnt));
		}
		else {
		for(int j=1;j<i;j++) if(b[j]>a[i]) cnt++;
		for(int j=cnt;j<=i;j++)
			f[ii][j]=f[!ii][j]*(j-cnt);
		for(int j=1;j<=i;j++)
			f[ii][j]=(f[ii][j]+f[!ii][j-1]*(i-(j-1)+cnt));				
		}
	}
	num ans;
	for(int i=0;i<=k;i++) ans=ans+f[n&1][i];
	Print(ans);
	return 0;
}


      
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