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「管理数学基础」1.1 矩阵理论:线性变换及其矩阵表示

2021-07-20 16:44:02 小拍Piper

是否构成 R R R上的线性空间

是否构成 R R R上的线性空间

判断封闭

  • x 1 , x 2 ∈ R x_1, x_2 \in R x1,x2R,有 x 1 + x 2 ∈ R x_1+x_2 \in R x1+x2R,以及 k x 1 ∈ R kx_1 \in R kx1R,其中 k ∈ R k \in R kR

如何判断是否构成X上的线性空间?由定义:

  • 加法运算“+”满足:对 x , y ∈ X x,y\in X x,yX x + y ∈ X x+y\in X x+yX,且
    • 交换律: x + y = y + x x+y=y+x x+y=y+x
    • 结合律:对任意 z ∈ X z\in X zX ( x + y ) + z = x + ( y + z ) (x+y)+z=x+(y+z) (x+y)+z=x+(y+z)
    • 有零元:存在 0 ∈ X 0\in X 0X,使得对一切 x ∈ X x\in X xX,有 x + 0 = x x+0=x x+0=x 0 0 0称为 X X X的零元素)这条一般被作为反例,直接用于判断不成立
    • 有负元:对任意 x ∈ X x\in X xX,存在 y ∈ X y\in X yX,使 x + y = 0 x+y=0 x+y=0 y y y称为 x x x的负元素)
  • 数乘元素“·”满足:对任意 α ∈ K \alpha \in K αK K K K为实数域 R R R或复数域 C C C), x ∈ X x \in X xX α x ∈ X \alpha x \in X αxX,且:
    • 对任意的 β ∈ K \beta \in K βK α ( β x ) = ( α β ) x \alpha (\beta x) = (\alpha \beta)x α(βx)=(αβ)x
    • 1 ⋅ x = x 1 \cdot x = x 1x=x
    • 对任意的 y ∈ X y \in X yX α ( x + y ) = α x + α y \alpha(x + y) = \alpha x + \alpha y α(x+y)=αx+αy
    • 对任意的 β ∈ K \beta \in K βK ( α + β ) x = α x + β x (\alpha + \beta)x = \alpha x + \beta x (α+β)x=αx+βx

例题: 判断下列集合对于所指运算是否为( R R R上的)线性空间( R n R^n Rn的子空间)。

  • (1)分量之和等于0的 n n n维向量的全体,对向量加和数乘
  • (2)分量之和等于1的 n n n维向量的全体,对向量加和数乘

解:

分析:

  • 是否封闭?
  • 分别满足加法与乘法的四个条件?

基之间的过渡矩阵

基之间的过渡矩阵

[ ϵ 1 , . . . , ϵ n ] = [ η 1 , . . . , η n ] P [\epsilon_1, ...,\epsilon_n] = [\eta_1, ...,\eta_n]P [ϵ1,...,ϵn]=[η1,...,ηn]P

P P P称为 η \eta η ϵ \epsilon ϵ的过渡矩阵。

例题:

解:
注:上图中应该是

分析:

  • e e e a a a的过渡矩阵,由 a = e P a=eP a=eP定义式可得 P = e − 1 a P=e^{-1}a P=e1a
  • 在某一坐标系(基)下的坐标,其实际表示的坐标点是 [ e i ] 1 × i [ x ] i × 1 [e_i]_{1\times i}[x]_{i \times 1} [ei]1×i[x]i×1;因此,对于同一坐标点,可以在不同坐标系下建立相等的关系 [ e i ] 1 × i [ x ] i × 1 = [ a i ] 1 × i [ y ] i × 1 [e_i]_{1\times i}[x]_{i \times 1} = [a_i]_{1\times i}[y]_{i \times 1} [ei]1×i[x]i×1=[ai]1×i[y]i×1

是否是线性变换

是否是线性变换

  • 映射: T : X → Y T: X \rightarrow Y T:XY
  • 线性映射:线性空间 X X X Y Y Y满足线性的映射,即 T T T满足: T ( α x + β y ) = α T x + β T y T(\alpha x + \beta y) = \alpha T x + \beta T y T(αx+βy)=αTx+βTy
  • 线性变换: Y = X Y=X Y=X时的线性映射,即 T : X → X T: X\rightarrow X T:XX

例题:

解:

分析:

  • 直接套用定义,是否满足 T ( α x + β y ) = α T x + β T y T(\alpha x + \beta y) = \alpha T x + \beta T y T(αx+βy)=αTx+βTy

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