当前位置:网站首页>函数图像上存在对称点

函数图像上存在对称点

2021-07-18 16:38:58 wanghai2018

watermark,size_16,text_QDUxQ1RP5Y2a5a6i,color_FFFFFF,t_100,g_se,x_10,y_10,shadow_90,type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk=

前言

若题目给定函数图像上存在对称点,她的求解一般不是那么能直接求解,往往首先考查我们的数学素养,即将题目进行转化的能力,思考时的角度可以从[数]和[形]两个角度来进行。那么具体该如何转化呢,请各位结合下面的题目自行体会和揣摩,耐心等待顿悟时刻的到来。

数学素养

从数的角度来说,

若函数\(f(x)\)与函数\(g(x)\)的图像上存在关于\(x\)轴的对称点,则\(f(x)=-g(x)\)有解;

若函数\(f(x)\)与函数\(g(x)\)的图像上存在关于\(y\)轴的对称点,则\(f(-x)=g(x)\)有解;

若函数\(f(x)\)与函数\(g(x)\)的图像上存在关于原点的对称点,则\(f(x)=-g(-x)\)有解;

转化为方程有解类问题后,又或可转化为能成立类的问题,接下来往往就是分离参数,求另一端新函数的值域或者最值;

从形的角度来说,

若函数\(f(x)\)与函数\(g(x)\)的图像上存在关于\(x\)轴的对称点,则函数\(y=f(x)\)与函数\(y=-g(x)\)的图像有交点;

若函数\(f(x)\)与函数\(g(x)\)的图像上存在关于\(y\)轴的对称点,则函数\(y=f(-x)\)与函数\(y=g(x)\)的图像有交点;

若函数\(f(x)\)与函数\(g(x)\)的图像上存在关于原点的对称点,则函数\(y=f(x)\)与函数\(y=-g(-x)\)的图像有交点;

这样接下来,常常是做函数的图像,从形上入手分析,有几个交点的问题,此时需要分清楚静态函数和动态函数,尤其是找准动态函数的图像的控制要素;

分类解析

  • 两个函数图像上存在关于\(x\)轴的对称点类问题,涉及两个函数;

【2017•蚌埠模拟】已知函数\(f(x)=lnx-x^3\)\(g(x)=x^3-ax\)的图像上存在关于\(x\)轴的对称点,则\(a\)的取值范围为【 】

$A.(-\infty,e)$ $B.(-\infty,e]$ $C.(-\infty,\cfrac{1}{e})$ $D.(-\infty,\cfrac{1}{e}]$

法1分析:函数\(f(x)=lnx-x^3\)\(g(x)=x^3-ax\)的图像上存在关于x轴的对称点,

即当\(x=x_0\)时,\(f(x_0)=-g(x_0)\)

所以方程\(f(x)=-g(x)\)有解, 所以\(lnx-x^3=-x^3+ax\)有解,

所以\(lnx=ax\)\((0,+\infty)\)有解,即方程\(a=\cfrac{lnx}{x}\)\((0,+\infty)\)有解,

\(h(x)=\cfrac{lnx}{x}\),由导数知识可知,\(f(x)\)\((0,e)\)上单调递增,在\((e,+\infty)\)上单调递减,

\(f(e)=\cfrac{1}{e}\),故函数\(h(x)\in (-\infty,\cfrac{1}{e}]\),故\(a\)的取值范围为\((-\infty,\cfrac{1}{e}]\) ,选\(D\)

法2:转换为方程\(lnx=ax\)\((0,+\infty)\)有解,即函数\(y=lnx\)和函数\(y=ax\)图像在\((0,+\infty)\)上有交点,利用数形结合求解;

法3:接上转换为方程\(a=\cfrac{lnx}{x}\)\((0,+\infty)\)有解,即函数\(y=h(x)=\cfrac{lnx}{x}\)和函数\(y=a\)的图像有交点,利用数形结合求解;

  • 两个函数图像上存在关于\(y\)轴的对称点类问题,涉及两个函数;

【2018陕西省高三第二次质检第12题】已知函数\(f(x)=e^x+2(x<0)\)\(g(x)=ln(x+a)+2\)的图像上存在关于\(y\)轴对称的点,则\(a\)的取值范围为【 】

$A.(-\infty,\cfrac{1}{e})$ $B.(-\infty,e)$ $C.(-\cfrac{1}{e},e)$ $D.(-e,\cfrac{1}{e}]$

分析:函数\(f(x)=e^x+2(x<0)\)\(g(x)=ln(x+a)+2\)的图像上存在关于\(y\)轴对称的点,

\(f(-x_0)=g(x_0)\)能成立。即方程\(f(-x)=g(x)\)有解,

所以当\(x>0\)时,\(e^{-x}+2=ln(x+a)+2\)有解,

即方程\(e^{-x}=ln(x+a)\)\(x>0\)时有解,即函数\(y=e^x\)与函数\(y=ln(x+a)\)图像有交点,

法1:数形结合法,如右图所示可知,当函数\(y=ln(x+a)\)过点\((1,0)\)时,没有交点,

watermark,size_16,text_QDUxQ1RP5Y2a5a6i,color_FFFFFF,t_100,g_se,x_10,y_10,shadow_90,type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk=

此时由\(ln(0+a)=1\)可得,\(a=e\)

又由图像平移可知,需要将函数\(y=ln(x+a)\)向右移动才会有交点,

\(a<e\),即\(a\)的取值范围是\((-\infty,e)\),选\(B\).

法2:补集思想+计算法,由图可知,当函数\(y=ln(x+a)\)经过点\((0,1)\)上方时,必无交点,

\(lna\ge 1\)时,即\(a\ge e\)时,二者无交点,由补集思想可得,二者有交点时\(a<e\)

\(a\)的取值范围是\((-\infty,e)\),选\(B\).

解后反思:在网上见到有人这样解,\(lna<1\),解得\(0<a<e\),这是错的(很显然,\(a=0\)是满足的),原因是当\(a<0\)时,\(lna\)是没有意义的,但是此时函数\(y=ln(x+a)\)的图像已经和\(y\)轴没有交点了,已经向右移动了,其渐近线也是向右移动的。

【学生训练题目】已知函数\(f(x)=x^2+e^x-\cfrac{1}{2}(x<0)\)与函数\(g(x)=x^2+\ln(x+a)\)的图像上存在关于\(y\)轴的对称点,则\(a\)的取值范围是【】

$A.(-\infty,\sqrt{e})$ $B.(-\sqrt{e},\cfrac{\sqrt{e}}{e})$ $C.(-\infty,\cfrac{\sqrt{e}}{e})$ $D.(-\cfrac{\sqrt{e}}{e},\sqrt{e})$

提示:答案为\(A\),请仿上例完成。

  • 两个函数图像上存在关于原点的对称点类问题,涉及两个函数;

【学生训练题目】已知函数\(f(x)=lnx-x^2\)与函数\(g(x)=x^2-\cfrac{2}{x}-m\)的图像上存在关于原点的对称点,则\(m\)的取值范围为________.

分析:由题可知,方程\(f(x)=-g(-x)\)\(x>0\)上有解,即\(lnx-x^2=-x^2-\cfrac{2}{x}+m\)\(x>0\)上有解,

\(m=lnx+\cfrac{2}{x}\)\(x>0\)上有解,设\(h(x)=lnx+\cfrac{2}{x}(x>0)\)

\(h'(x)=\cfrac{1}{x}-\cfrac{2}{x^2}=\cfrac{x-2}{x^2}\)

\(h(x)\)在区间\((0,2)\)上单调递减,在区间\((2,+\infty)\)上单调递增,

\(h(x)_{min}=h(2)=ln2+1\)

即函数\(h(x)\)的值域是\([ln2+1,+\infty)\)

\(m\)的取值范围为是\([ln2+1,+\infty)\)

  • 一个分段函数图像上存在关于原点的对称点类问题,涉及一个函数;

【学生训练题目】已知函数\(f(x)=\left\{\begin{array}{l}{\cos\cfrac{\pi}{2}x-1,x\geqslant 0}\\{-log_a(-x),x<0}\end{array}\right.(a>0,a\neq 1)\),若函数图像上关于原点对称的点至少有\(3\)对,则实数\(a\)的取值范围是【】

$A.(0,\cfrac{\sqrt{6}}{6})$ $B.(\cfrac{\sqrt{6}}{6},1)$ $C.(0,\cfrac{\sqrt{5}}{5})$ $D.(\cfrac{\sqrt{5}}{5},1)$

分析:对题意的解析,即需要第二段函数关于原点的对称函数的图像,和第一段函数的图像的交点有\(3\)个以上;

首先,动手做出第一段函数的图像,\(y=\cos\cfrac{\pi}{2}x-1,x\geqslant 0\),如图中红色部分;

全屏按钮

然后初步判断,若第二段函数\(y=-log_a(-x),x<0\)的底数\(a>1\)时,其关于原点的对称函数\(y=log_ax\)\(x>0\)和第一段函数的图像不会有两个以上的交点,故排除\(a>1\)

接下来重点考虑\(0<a<1\)的情形,当\(0<a<1\)时,第二段函数关于原点的对称函数\(y=log_ax\)\(x>0\)会随着\(a\)的变化和第一段函数图像有更多的交点,关键是找到控制点;

通过动态的演示,我们知道,应该让点\(B\)在点\(A\)的上方,从数的角度刻画,应该需要其满足\(log_a6>-2\)

故需要同时满足条件,\(\left\{\begin{array}{l}{0<a<1}\\{log_a6>-2}\end{array}\right.\)[1]

解得\(\left\{\begin{array}{l}{0<a<1}\\{0<a<\cfrac{\sqrt{6}}{6}}\end{array}\right.\),故选\(A\)

解后反思:①若题目要求变化为“若函数图像上关于原点对称的点仅有\(3\)对”,则此时需要在原来的基础上添加条件,\(log_a{10}<-2\),这样共需要满足条件:

\(\left\{\begin{array}{l}{0<a<1}\\{log_a6>-2}\\{log_a{10}<-2}\end{array}\right.\),解得\(a\in (\cfrac{\sqrt{10}}{10},\cfrac{\sqrt{6}}{6})\);

相关链接

1.函数图像的变换

2.分离参数法


  1. \(log_a6>-2=log_aa^{-2}\),即\(a^{-2}>6\),即\(6a^2<1\),即\(a^2<\cfrac{1}{6}\),即\(0<a<\cfrac{\sqrt{6}}{6}\)

版权声明
本文为[wanghai2018]所创,转载请带上原文链接,感谢
https://blog.51cto.com/wanghai0666/2853682