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P1447 [NOI2010]能量采集

2021-06-25 08:40:49 圩纥

题目描述

栋栋有一块长方形的地,他在地上种了一种能量植物,这种植物可以采集太阳光的能量。在这些植物采集能量后,栋栋再使用一个能量汇集机器把这些植物采集到的能量汇集到一起。

栋栋的植物种得非常整齐,一共有n列,每列有m棵,植物的横竖间距都一样,因此对于每一棵植物,栋栋可以用一个坐标(x, y)来表示,其中x的范围是1至n,表示是在第x列,y的范围是1至m,表示是在第x列的第y棵。

由于能量汇集机器较大,不便移动,栋栋将它放在了一个角上,坐标正好是(0, 0)。

能量汇集机器在汇集的过程中有一定的能量损失。如果一棵植物与能量汇集机器连接而成的线段上有k棵植物,则能 量的损失为2k + 1。例如,当能量汇集机器收集坐标为(2, 4)的植物时,由于连接线段上存在一棵植物(1, 2),会产生3的能量损失。注意,如果一棵植物与能量汇集机器连接的线段上没有植物,则能量损失为1。现在要计算总的能量损失。

下面给出了一个能量采集的例子,其中n = 5,m = 4,一共有20棵植物,在每棵植物上标明了能量汇集机器收集它的能量时产生的能量损失。

在这个例子中,总共产生了36的能量损失。

输入输出格式

输入格式:

 

仅包含一行,为两个整数n和m。

 

输出格式:

 

仅包含一个整数,表示总共产生的能量损失。

 

输入输出样例

输入样例#1: 
5 4
输出样例#1: 
36
输入样例#2: 
3 4
输出样例#2: 
20

说明

对于10%的数据:1 ≤ n, m ≤ 10;
对于50%的数据:1 ≤ n, m ≤ 100;
对于80%的数据:1 ≤ n, m ≤ 1000;
对于90%的数据:1 ≤ n, m ≤ 10,000;
对于100%的数据:1 ≤ n, m ≤ 100,000。

 

Solution:

  本题zyys。

  我们首先对图进行下分析,不难发现本题所求的是:$\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{m}{gcd(i,j)\times 2 - 1}$。

  直接暴力枚举显然行不通,但是不难发现,同一最小公约数$x$可能会出现多次,于是我们考虑求满足$i\leq n,j\leq m$的$gcd(i,j)=x$的个数$f[x]$,那么$x$对答案的贡献就是$f[x]\times (x\times 2 -1)$。

  那么显然$1\leq gcd(i,j)\leq min(n,m)$,直接枚举每个最小公约数$x$,那么$n$内的是$x$的倍数的数至少有$\lfloor{n/x}\rfloor$个,同理$m$内有$\lfloor{m/x}\rfloor$个,那么$x$作为公约数的数对共$\lfloor{n/x}\rfloor\times \lfloor{m/x}\rfloor$个,由于要求的是最小公约数$x$,显然上述数对中存在最小公约数为$x$倍数的数对,所以我们由容斥原理直接从上面的数对中减去最小公约数为$2\times x,3\times x,…k\times x\;,k\times x\leq min(n,m)$的数对个数。

  由于上面$x$的倍数都大于$x$,可以在枚举$x$之前处理,直接倒序循环就好了。

  最后统计累加答案。显然时间复杂度为调和级数,$O(n\log n)$。

代码:

#include<bits/stdc++.h>
#define il inline
#define ll long long
#define For(i,a,b) for(ll (i)=(a);(i)<=(b);(i)++)
#define Bor(i,a,b) for(ll (i)=(b);(i)>=(a);(i)--)
using namespace std;
const int N=100005;
ll n,m,f[N],ans;

il int gi(){
    int a=0;char x=getchar();
    while(x<'0'||x>'9')x=getchar();
    while(x>='0'&&x<='9')a=(a<<3)+(a<<1)+x-48,x=getchar();
    return a;
}

int main(){
    n=gi(),m=gi();
    if(n>m)swap(n,m);
    Bor(i,1,n){
        f[i]=(n/i)*(m/i);
        for(ll j=2;j*i<=n;j++)f[i]-=f[i*j];
        ans+=f[i]*(i*2-1);
    }
    cout<<ans;
    return 0;
}

 

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