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向量叉乘的几何意义

2021-01-12 11:03:38 osc_6n4iy0i5

向量叉乘的几何意义

对于两个2维向量:
a ⃗ = ( x 1 , y 1 ) b ⃗ = ( x 2 , y 2 ) \begin{aligned} \vec{a} &= (x1,y1) \\ \vec{b} &= (x2,y2) \end{aligned} a b =(x1,y1)=(x2,y2)

叉乘定义:
| a ⃗ × b ⃗ | = x 1 y 2 − x 2 y 1 |\vec{a} \times \vec{b}| = x_1y_2-x_2y_1 a ×b =x1y2x2y1

计算面积

在这里插入图片描述

四边形ODCE面积:
S = ( x 1 + x 2 ) ( y 1 + y 2 ) S = (x_1+x_2)(y_1+y_2) S=(x1+x2)(y1+y2)

四边形GDFB面积:
S 1 = x 2 y 1 S_{1} = x_2y_1 S1=x2y1

三角形BFC面积:
S 2 = 0.5 ( x 1 y 1 ) S_{2}=0.5(x_1y_1) S2=0.5(x1y1)

三角形OGB面积:
S 3 = 0.5 ( x 2 y 2 ) S_{3}=0.5(x_2y_2) S3=0.5(x2y2)

平行四边形OGCA面积:
S 平 行 四 边 形 = S − 2 S 1 − 2 S 2 − 2 S 3 = ( x 1 + x 2 ) ( y 1 + y 2 ) − 2 x 2 y 1 − x 1 y 1 − x 2 y 2 = x 1 y 1 + x 2 y 1 + x 1 y 2 + x 2 y 2 − 2 x 2 y 1 − x 1 y 1 − x 2 y 2 = x 1 y 2 − x 2 y 1 \begin{aligned} S_{平行四边形} &= S-2S_1-2S_2-2S_3 \\ &= (x_1+x_2)(y_1+y_2) - 2x_2y_1 - x_1y_1 - x_2y_2 \\ &= x_1y_1+x_2y_1 + x_1y_2+x_2y_2 - 2x_2y_1 - x_1y_1 - x_2y_2 \\ &= x_1y_2 - x_2y_1 \end{aligned} S=S2S12S22S3=(x1+x2)(y1+y2)2x2y1x1y1x2y2=x1y1+x2y1+x1y2+x2y22x2y1x1y1x2y2=x1y2x2y1

结论:

向量叉乘的模表示的是所围成平行四边形的面积。

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