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看图学NumPy:掌握n维数组基础知识点,看这一篇就够了

2021-01-09 16:02:16 ai52learn

NumPy是Python的最重要的扩展程序库之一,也是入门机器学习编程的必备工具。然而对初学者来说,NumPy的大量运算方法非常难记。

最近,国外有位程序员讲NumPy的基本运算以图解的方式写下来,让学习过程变得轻松有趣。在Reddit机器学习社区发布不到半天就收获了500+赞。

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下面就让我们跟随他的教程一起来学习吧!

教程内容分为向量 (一维数组)、矩阵 (二维数组)、三维与更高维数组3个部分。

Numpy数组与Python列表

在介绍正式内容之前,先让我们先来了解一下Numpy数组与Python列表的区别。

乍一看,NumPy数组类似于Python列表。它们都可以用作容器,具有获取(getting)和设置(setting)元素以及插入和移除元素的功能。

两者有很多相似之处,以下是二者在运算时的一个示例:

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和Python列表相比,Numpy数组具有以下特点:

更紧凑,尤其是在一维以上的维度;向量化操作时比Python列表快,但在末尾添加元素比Python列表慢。

 

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在末尾添加元素时,Python列表复杂度为O(1),NumPy复杂度为O(N)

向量运算

向量初始化

创建NumPy数组的一种方法是从Python列表直接转换,数组元素的类型与列表元素类型相同。

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NumPy数组无法像Python列表那样加长,因为在数组末尾没有保留空间。

因此,常见的做法是定义一个Python列表,对它进行操作,然后再转换为NumPy数组,或者用np.zeros和np.empty初始化数组,预分配必要的空间:

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有时我们需要创建一个空数组,大小和元素类型与现有数组相同:

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实际上,所有用常量填充创建的数组的函数都有一个_like对应项,来创建相同类型的常数数组:

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在NumPy中,可以用arange或者linspace来初始化单调序列数组:

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如果需要类似[0., 1., 2.]的浮点数组,可以更改arange输出的类型:arange(3).astype(float)。

但是有更好的方法:arange函数对数据类型敏感,如果将整数作为参数,生成整数数组;如果输入浮点数(例如arange(3.)),则生成浮点数组。

但是arange在处理浮点数方面并不是特别擅长:

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这是因为0.1对于我们来说是一个有限的十进制数,但对计算机而言却不是。在二进制下,0.1是一个无穷小数,必须在某处截断。

这就是为什么将小数部分加到步骤arange通常是一个不太好的方法:我们可能会遇到一个bug,导致数组的元素个数不是我们想要的数,这会降低代码的可读性和可维护性。

这时候,linspace会派上用场。它不受舍入错误的影响,并始终生成要求的元素数。

出于测试目的,通常需要生成随机数组,NumPy提供随机整数、均匀分布、正态分布等几种随机数形式:

向量索引

一旦将数据存储在数组中,NumPy便会提供简单的方法将其取出:

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上面展示了各式各样的索引,例如取出某个特定区间,从右往左索引、只取出奇数位等等。

但它们都是所谓的view,也就是不存储原始数据。并且如果原始数组在被索引后进行更改,则不会反映原始数组的改变。

这些索引方法允许分配修改原始数组的内容,因此需要特别注意:只有下面最后一种方法才是复制数组,如果用其他方法都可能破坏原始数据:

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从NumPy数组中获取数据的另一种超级有用的方法是布尔索引,它允许使用各种逻辑运算符,来检索符合条件的元素:

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注意:Python中的三元比较3<=a<=5在NumPy数组中不起作用。

如上所述,布尔索引也会改写数组。它有两个常见的函数,分别是np.wherenp.clip

向量运算

算术运算是NumPy速度最引入注目的地方之一。NumPy的向量运算符已达到C++级别,避免了Python的慢循环。

NumPy允许像普通数字一样操作整个数组(加减乘除、整除、幂):

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 和Python中一样,a//b表示div b(整除),x**n表示xⁿ

向量还可以与标量进行类似的运算,方法相同:

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大多数的数学函数都有NumPy对应项用于处理向量:

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向量的点积、叉积也有运算符:

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我们也可以进行三角函数、反三角函数、求斜边运算:

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数组可以四舍五入为整数:

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 floor取下界;ceil取上界;round为四舍六入五取偶

NumPy还可以执行以下基本的统计运算(最大最小值、平均值、方差、标准差):

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不过排序函数的功能比Python列表对应函数更少:

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搜索向量中的元素

与Python列表相反,NumPy数组没有index方法。

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  • 查找元素的一种方法是np.where(a==x)[0][0],它既不优雅也不快速,因为要查找的项需要从开头遍历数组的所有元素。

  • 更快的方式是通过Numba中的next((i[0] for i, v in np.ndenumerate(a) if v==x), -1)来加速。

  • 一旦对数组进行排序,情况就会变得更好:v = np.searchsorted(a, x); return v if a[v]==x else -1的复杂度为O(log N),确实非常快,但是首先需要O(N log N)的排序时间。

比较浮点数

函数np.allclose(a, b)用于比较具有给定公差的浮点数组:

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  • np.allclose假设所有的比较数字的等级是1个单位。例如在上图中,它就认为1e-9和2e-9相同,如果要进行更细致的比较,需要通过atol指定比较等级1:np.allclose(1e-9, 2e-9, atol=1e-17) == False。

  • math.isclose进行比较没有假设前提,而是基于用户给出的一个合理abs_tol值:math.isclose(0.1+0.2–0.3, abs_tol=1e-8) == True。

除此之外np.allclose在绝对和相对公差公式中还存在一些小问题,例如,对某些数存在allclose(a, b) != allclose(b, a)。这些问题已在math.isclose函数中得到解决。

矩阵运算

NumPy中曾经有一个专用的类matrix,但现在已弃用,因此下面将交替使用矩阵和2D数组两个词。

矩阵初始化语法与向量相似:

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这里需要双括号,因为第二个位置参数是为dtype保留的。

随机矩阵的生成也类似于向量的生成:

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二维索引语法比嵌套列表更方便:

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和一维数组一样,上图的view表示,切片数组实际上并未进行任何复制。修改数组后,更改也将反映在切片中。

axis参数

在许多操作(例如求和)中,我们需要告诉NumPy是否要跨行或跨列进行操作。为了使用任意维数的通用表示法,NumPy引入了axis的概念:axis参数实际上是所讨论索引的数量:第一个索引是axis=0,第二个索引是axis=1,等等。

因此在二维数组中,如果axis=0是按列,那么axis=1就是按行。

 

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矩阵运算

除了普通的运算符(如+,-,*,/,//和**)以元素方式计算外,还有一个@运算符可计算矩阵乘积:

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在第一部分中,我们已经看到向量乘积的运算,NumPy允许向量和矩阵之间,甚至两个向量之间进行元素的混合运算:

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行向量与列向量

从上面的示例可以看出,在二维数组中,行向量和列向量被不同地对待。

默认情况下,一维数组在二维操作中被视为行向量。因此,将矩阵乘以行向量时,可以使用(n,)或(1,n),结果将相同。

如果需要列向量,则有转置方法对其进行操作:

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能够从一维数组中生成二位数组列向量的两个操作是使用命令reshape重排和newaxis建立新索引:

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这里的-1参数表示reshape自动计算第二个维度上的数组长度,None在方括号中充当np.newaxis的快捷方式,该快捷方式在指定位置添加了一个空axis。

因此,NumPy中总共有三种类型的向量:一维数组,二维行向量和二维列向量。这是两者之间显式转换的示意图:

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根据规则,一维数组被隐式解释为二维行向量,因此通常不必在这两个数组之间进行转换,相应区域用灰色标出。

矩阵操作

连接矩阵有两个主要函数:

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这两个函数只堆叠矩阵或只堆叠向量时,都可以正常工作。但是当涉及一维数组与矩阵之间的混合堆叠时,vstack可以正常工作:hstack会出现尺寸不匹配错误。

因为如上所述,一维数组被解释为行向量,而不是列向量。解决方法是将其转换为列向量,或者使用column_stack自动执行:

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堆叠的逆向操作是分裂:

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矩阵可以通过两种方式完成复制:tile类似于复制粘贴,repeat类似于分页打印。

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特定的列和行可以用delete进行删除:

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逆运算为插入:

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append就像hstack一样,该函数无法自动转置一维数组,因此再次需要对向量进行转置或添加长度,或者使用column_stack代替:

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实际上,如果我们需要做的就是向数组的边界添加常量值,那么pad函数就足够了:

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Meshgrid

如果我们要创建以下矩阵:

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两种方法都很慢,因为它们使用的是Python循环。在MATLAB处理这类问题的方法是创建一个meshgrid

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该meshgrid函数接受任意一组索引,mgrid仅是切片,indices只能生成完整的索引范围。fromfunction如上所述,仅使用I和J参数一次调用提供的函数。

但是实际上,在NumPy中有一种更好的方法。无需在整个矩阵上耗费存储空间。仅存储大小正确的矢量就足够了,运算规则将处理其余的内容:

在没有indexing=’ij’参数的情况下,meshgrid将更改参数的顺序:J, I= np.meshgrid(j, i)—这是一种“ xy”模式,用于可视化3D图。

除了在二维或三维数组上初始化外,meshgrid还可以用于索引数组:

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矩阵统计

就像之前提到的统计函数一样,二维数组接受到axis参数后,会采取相应的统计运算:

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二维及更高维度中,argmin和argmax函数返回最大最小值的索引:

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all和any两个函数也能使用axis参数:

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矩阵排序

尽管axis参数对上面列出的函数很有用,但对二维排序却没有帮助:

axis绝不是Python列表key参数的替代。不过NumPy具有多个函数,允许按列进行排序:

1、按第一列对数组排序:a[a[:,0].argsort()]

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argsort排序后,此处返回原始数组的索引数组。

此技巧可以重复,但是必须小心,以免下一个排序混淆前一个排序的结果:

a = a[a[:,2].argsort()]
a = a[a[:,1].argsort(kind=’stable’)]
a = a[a[:,0].argsort(kind=’stable’)]

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2、有一个辅助函数lexsort,该函数按上述方式对所有可用列进行排序,但始终按行执行,例如:

  • a[np.lexsort(np.flipud(a[2,5].T))]:先通过第2列排序,再通过第5列排序;

  • a[np.lexsort(np.flipud(a.T))]:按从左到右所有列依次进行排序。

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3、还有一个参数order,但是如果从普通(非结构化)数组开始,则既不快速也不容易使用。

4、因为这个特殊的操作方式更具可读性和它可能是一个更好的选择,这样做的pandas不易出错:

  • pd.DataFrame(a).sort_values(by=[2,5]).to_numpy():通过第2列再通过第5列进行排序。

  • pd.DataFrame(a).sort_values().to_numpy():通过从左向右所有列进行排序

高维数组运算

通过重排一维向量或转换嵌套的Python列表来创建3D数组时,索引的含义为(z,y,x)。

第一个索引是平面的编号,然后才是在该平面上的移动:

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这种索引顺序很方便,例如用于保留一堆灰度图像:这a[i]是引用第i个图像的快捷方式。

但是此索引顺序不是通用的。处理RGB图像时,通常使用(y,x,z)顺序:前两个是像素坐标,最后一个是颜色坐标(Matplotlib中是RGB ,OpenCV中是BGR ):

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这样,可以方便地引用特定像素:a[i,j]给出像素的RGB元组(i,j)。

因此,创建特定几何形状的实际命令取决于正在处理的域的约定:

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显然,NumPy函数像hstack、vstack或dstack不知道这些约定。其中硬编码的索引顺序是(y,x,z),RGB图像顺序是:

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RGB图像数组(为简便起见,上图仅2种颜色)

如果数据的布局不同,则使用concatenate命令堆叠图像,并在axis参数中提供显式索引数会更方便:

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如果不方便使用axis,可以将数组转换硬编码为hstack的形式:

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这种转换没有实际的复制发生。它只是混合索引的顺序。

混合索引顺序的另一个操作是数组转置。检查它可能会让我们对三维数组更加熟悉。

根据我们决定的axis顺序,转置数组所有平面的实际命令将有所不同:对于通用数组,它交换索引1和2,对于RGB图像,它交换0和1:

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有趣的是,(和唯一的操作模式)默认的axes参数颠倒了索引顺序,这与上述两个索引顺序约定都不相符。

最后,还有一个函数,可以在处理多维数组时节省很多Python循环,并使代码更简洁,这就是爱因斯坦求和函数einsum:

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它将沿重复索引的数组求和。

最后,若要掌握NumPy,可以前去GitHub上的项目——100道NumPy练习题,验证自己的学习成果。

原文链接:
https://medium.com/better-programming/numpy-illustrated-the-visual-guide-to-numpy-3b1d4976de1d

100道NumPy练习题:
https://github.com/rougier/numpy-100

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