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序结构

2021-01-06 09:19:38 osc_5h77wdgp

1. 前言

4. 序结构

定义1(二元关系). X X X是一个集合, R \mathcal{R} R X × X X\times X X×X的子集,则称 R \mathcal{R} R X X X的一个二元关系。 R \mathcal{R} R中的元素 ( a , b ) (a,b) (a,b)通常被记为 a R b a\mathcal{R}b aRb

R \mathcal{R} R X X X的对角时
R = Δ X = { ( a , a ) : a ∈ X } \mathcal{R}=\Delta_X=\{(a,a):a\in X\} R=ΔX={ (a,a):aX}
该二元关系被记为 = = =

定义2(序关系). X X X是一个集合, R \mathcal{R} R是一个二元关系。当 R \mathcal{R} R满足性质

  • 自反性。即

5. ω 1 \omega_1 ω1的构造

X X X是不可数集合,根据选择公理, X X X上可以定义一个良序(Well Ordering),也就是满足如下性质的序:

  • A A A X X X是非空子集,则 A A A中存在极小元 a a a,即 a ∈ A a\in A aA,且对任何 b ∈ A b\in A bA,有 a ≤ b a\leq b ab

特别地,上述条件说明 A A A中任何两个元素都可以比较,即

命题1. 良序一定是线性序。

定义 s e g   a \mathbf{seg}\,a sega X X X中所有小于 a a a的元素构成的集合,即
s e g   a = { x ∈ X : x < a } . \mathbf{seg}\,a=\{x\in X:x<a\}. sega={ xX:x<a}.
定义 Y = { y ∈ X : s e g   y 是 不 可 数 的 } Y=\{y\in X:\mathbf{seg}\,y是不可数的\} Y={ yX:segy},当 Y Y Y不是空集时,根据良序性,存在 Y Y Y的极小元 y 0 y_0 y0,此时定义
ω 1 : = s e g   y 0 , \omega_1:=\mathbf{seg}\,y_0, ω1:=segy0,
Y = ∅ Y=\empty Y=时,定义 ω 1 = X \omega_1=X ω1=X。这样定义的 ω 1 \omega_1 ω1被称为第一不可数序



命题2. 如上定义的 ω 1 \omega_1 ω1具有性质:

  • ω 1 \omega_1 ω1是具有良序的不可数集合。
  • 任何 x ∈ ω 1 x\in \omega_1 xω1 s e g   x \mathbf{seg}\,x segx是可数的。
  • 对于序列 { x n } ⊂ ω 1 \{x_n\}\subset \omega_1 { xn}ω1,存在 y ∈ ω 1 y\in \omega_1 yω1使得
    ∪ n s e g   x n = s e g   y \cup_n \mathbf{seg}\,x_n=\mathbf{seg}\,y nsegxn=segy
    我们记 y = sup ⁡ x n y=\sup x_n y=supxn.

我们在 ω 1 \omega_1 ω1上定义线性序拓扑:一族拓扑基为如下形式

  • ( − ∞ , a ) : = { x ∈ ω 1 : x < a } (-\infty,a):=\{x\in \omega_1:x<a\} (,a):={ xω1:x<a}.
  • ( b , ∞ ) : = { x ∈ ω 1 : x < b } (b,\infty):=\{x\in \omega_1:x<b\} (b,):={ xω1:x<b}.
  • ( a , b ) : = { x ∈ ω 1 : a < x < b } (a,b):=\{x\in \omega_1:a<x<b\} (a,b):={ xω1:a<x<b}.

命题3. 验证:

  • 如上定义确实是一个拓扑基.
  • 设序列 { x n } \{x_n\} { xn} { y n } \{y_n\} { yn}都包含于 ω 1 \omega_1 ω1中,且 x n ≤ y n ≤ x n + 1 x_n\leq y_n\leq x_{n+1} xnynxn+1,则
    sup ⁡ x n = sup ⁡ y n , lim ⁡ n → ∞ x n = sup ⁡ x n , lim ⁡ n → ∞ y n = sup ⁡ y n . \sup x_n=\sup y_n,\lim_{n\rightarrow \infty}x_n=\sup x_n,\lim_{n\rightarrow \infty}y_n=\sup y_n. supxn=supynnlimxn=supxnnlimyn=supyn.
  • R \mathbb{R} R中通常的拓扑就是线性序拓扑.
  • A , B A,B A,B ω 1 \omega_1 ω1中不交的闭子集,则至少其中一个是可数集.
  • ω 1 \omega_1 ω1上的连续实值函数最终是常数,即存在 A ∈ ω 1 A\in \omega_1 Aω1使得任何 x ≥ A x\geq A xA,有常数 c c c使得
    f ( x ) = c . f(x)=c. f(x)=c.

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