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动态规划之子序列问题解题模板

2020-11-08 19:51:18 labuladong

读完本文,你可以去力扣拿下如下题目:

516.最长回文子序列

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子序列问题是常见的算法问题,而且并不好解决。

首先,子序列问题本身就相对子串、子数组更困难一些,因为前者是不连续的序列,而后两者是连续的,就算穷举你都不一定会,更别说求解相关的算法问题了。

而且,子序列问题很可能涉及到两个字符串,比如前文「最长公共子序列」,如果没有一定的处理经验,真的不容易想出来。所以本文就来扒一扒子序列问题的套路,其实就有两种模板,相关问题只要往这两种思路上想,十拿九稳。

一般来说,这类问题都是让你求一个最长子序列,因为最短子序列就是一个字符嘛,没啥可问的。一旦涉及到子序列和最值,那几乎可以肯定,考察的是动态规划技巧,时间复杂度一般都是 O(n^2)

原因很简单,你想想一个字符串,它的子序列有多少种可能?起码是指数级的吧,这种情况下,不用动态规划技巧,还想怎么着?

既然要用动态规划,那就要定义 dp 数组,找状态转移关系。我们说的两种思路模板,就是 dp 数组的定义思路。不同的问题可能需要不同的 dp 数组定义来解决。

一、两种思路

1、第一种思路模板是一个一维的 dp 数组

int n = array.length;
int[] dp = new int[n];

for (int i = 1; i < n; i++) {
    for (int j = 0; j < i; j++) {
        dp[i] = 最值(dp[i], dp[j] + ...)
    }
}

举个我们写过的例子「最长递增子序列」,在这个思路中 dp 数组的定义是:

在子数组 array[0..i] 中,我们要求的子序列(最长递增子序列)的长度是 dp[i]

为啥最长递增子序列需要这种思路呢?前文说得很清楚了,因为这样符合归纳法,可以找到状态转移的关系,这里就不具体展开了。

2、第二种思路模板是一个二维的 dp 数组

int n = arr.length;
int[][] dp = new dp[n][n];

for (int i = 0; i < n; i++) {
    for (int j = 0; j < n; j++) {
        if (arr[i] == arr[j]) 
            dp[i][j] = dp[i][j] + ...
        else
            dp[i][j] = 最值(...)
    }
}

这种思路运用相对更多一些,尤其是涉及两个字符串/数组的子序列,比如前文讲的「最长公共子序列」。本思路中 dp 数组含义又分为「只涉及一个字符串」和「涉及两个字符串」两种情况。

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2.1 涉及两个字符串/数组时(比如最长公共子序列),dp 数组的含义如下:

在子数组 arr1[0..i] 和子数组 arr2[0..j] 中,我们要求的子序列(最长公共子序列)长度为 dp[i][j]

2.2 只涉及一个字符串/数组时(比如本文要讲的最长回文子序列),dp 数组的含义如下:

在子数组 array[i..j] 中,我们要求的子序列(最长回文子序列)的长度为 dp[i][j]

第一种情况可以参考这两篇旧文:「编辑距离」「公共子序列」

下面就借最长回文子序列这个问题,详解一下第二种情况下如何使用动态规划。

二、最长回文子序列

之前解决了「最长回文子串」的问题,这次提升难度,求最长回文子序列的长度:

我们说这个问题对 dp 数组的定义是:在子串 s[i..j] 中,最长回文子序列的长度为 dp[i][j]。一定要记住这个定义才能理解算法。

为啥这个问题要这样定义二维的 dp 数组呢?我们前文多次提到,找状态转移需要归纳思维,说白了就是如何从已知的结果推出未知的部分,这样定义容易归纳,容易发现状态转移关系。

具体来说,如果我们想求 dp[i][j],假设你知道了子问题 dp[i+1][j-1] 的结果(s[i+1..j-1] 中最长回文子序列的长度),你是否能想办法算出 dp[i][j] 的值(s[i..j] 中,最长回文子序列的长度)呢?

可以!这取决于 s[i]s[j] 的字符:

如果它俩相等,那么它俩加上 s[i+1..j-1] 中的最长回文子序列就是 s[i..j] 的最长回文子序列:

如果它俩不相等,说明它俩不可能同时出现在 s[i..j] 的最长回文子序列中,那么把它俩分别加入 s[i+1..j-1] 中,看看哪个子串产生的回文子序列更长即可:

以上两种情况写成代码就是这样:

if (s[i] == s[j])
    // 它俩一定在最长回文子序列中
    dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1] + 2;
else
    // s[i+1..j] 和 s[i..j-1] 谁的回文子序列更长?
    dp[i][j] = max(dp[i + 1][j], dp[i][j - 1]);

至此,状态转移方程就写出来了,根据 dp 数组的定义,我们要求的就是 dp[0][n - 1],也就是整个 s 的最长回文子序列的长度。

三、代码实现

首先明确一下 base case,如果只有一个字符,显然最长回文子序列长度是 1,也就是 dp[i][j] = 1 (i == j)

因为 i 肯定小于等于 j,所以对于那些 i > j 的位置,根本不存在什么子序列,应该初始化为 0。

另外,看看刚才写的状态转移方程,想求 dp[i][j] 需要知道 dp[i+1][j-1]dp[i+1][j]dp[i][j-1] 这三个位置;再看看我们确定的 base case,填入 dp 数组之后是这样:

为了保证每次计算 dp[i][j],左下右方向的位置已经被计算出来,只能斜着遍历或者反着遍历

我选择反着遍历,代码如下:

int longestPalindromeSubseq(string s) {
    int n = s.size();
    // dp 数组全部初始化为 0
    vector<vector<int>> dp(n, vector<int>(n, 0));
    // base case
    for (int i = 0; i < n; i++)
        dp[i][i] = 1;
    // 反着遍历保证正确的状态转移
    for (int i = n - 1; i >= 0; i--) {
        for (int j = i + 1; j < n; j++) {
            // 状态转移方程
            if (s[i] == s[j])
                dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1] + 2;
            else
                dp[i][j] = max(dp[i + 1][j], dp[i][j - 1]);
        }
    }
    // 整个 s 的最长回文子串长度
    return dp[0][n - 1];
}

至此,最长回文子序列的问题就解决了。

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